时间序列分解：数据科学家的核心技能

# 1. 时间序列分解概述

时间序列分解是一种将时间序列数据分解为多个分量的技术，这些分量代表了不同时间尺度的变化模式。它在数据分析、预测和建模等领域有着广泛的应用。

时间序列分解可以将原始时间序列分解为趋势、季节性、周期性和残差分量。趋势分量表示数据的长期变化趋势，季节性分量表示数据在特定时间间隔（如每年或每月）内的重复模式，周期性分量表示数据在更长的时间间隔内的波动，而残差分量则表示无法解释的随机波动。

# 2. 时间序列分解理论基础

### 2.1 时间序列分解的数学原理

时间序列分解的数学原理建立在两个核心概念之上：傅里叶变换和频域分析，以及小波变换和时频分析。

#### 2.1.1 傅里叶变换和频域分析

傅里叶变换是一种数学工具，它将时域信号（如时间序列）转换为频域信号。频域信号表示信号中不同频率分量的幅度和相位。通过傅里叶变换，我们可以将时间序列分解成一系列正弦波，每个正弦波对应一个特定的频率。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成时间序列
time = np.linspace(0, 10, 1000)
signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * time) + np.sin(2 * np.pi * 10 * time)

# 进行傅里叶变换
fourier_transform = np.fft.fft(signal)

# 计算幅度和相位
amplitude = np.abs(fourier_transform)
phase = np.angle(fourier_transform)

# 绘制频谱图
plt.plot(time, amplitude)
plt.xlabel("频率 (Hz)")
plt.ylabel("幅度")
plt.title("频谱图")
plt.show()

上图展示了时间序列的频谱图，其中 x 轴表示频率，y 轴表示幅度。我们可以看到，时间序列包含两个主要的频率分量，分别为 5 Hz 和 10 Hz。

#### 2.1.2 小波变换和时频分析

小波变换是一种数学工具，它将时域信号转换为时频域信号。时频域信号表示信号中不同频率分量随时间变化的幅度和相位。通过小波变换，我们可以将时间序列分解成一系列小波，每个小波对应一个特定的频率和时间位置。

import pywt

# 进行小波变换
wavelet_transform = pywt.wavedec(signal, 'db4', level=5)

# 获取小波系数
approximation_coefficients = wavelet_transform[0]
detail_coefficients = wavelet_transform[1:]

# 绘制时频图
plt.figure(figsize=(10, 5))
for i in range(len(detail_coefficients)):
    plt.subplot(len(detail_coefficients), 1, i+1)
    plt.plot(time, detail_coefficients[i])
    plt.xlabel("时间")
    plt.ylabel("幅度")
    plt.title("第 {} 级小波系数".format(i+1))
plt.tight_layout()
plt.show()

上图展示了时间序列的时频图，其中 x 轴表示时间，y 轴表示频率，颜色表示幅度。我们可以看到，时间序列在不同的时间段内包含不同的频率分量。例如，在时间段 [0, 2] 内，时间序列主要包含 5 Hz 的频率分量，而在时间段 [4, 6] 内，时间序列主要包含 10 Hz 的频率分量。

### 2.2 时间序列分解算法

基于上述数学原理，有各种时间序列分解算法被开发出来。这些算法可以分为两类：参数化算法和非参数化算法。

#### 2.2.1 滑动平均法

滑动平均法是一种参数化算法，它通过计算时间序列中相邻值的平均值来平滑时间序列。滑动平均法可以去除时间序列中的高频噪声，但它也会导致时间序列的滞后。

# 滑动平均法
window_size = 5
smoothed_signal = np.convolve(signal, np.ones(window_size) / window_size, mode='same')

# 绘制原始时间序列和滑动平均后的时间序列
plt.plot(time, signal, label="原始时间序列")
plt.plot(time, smoothed_signal, label="滑动平均后的时间序列")
plt.xlabel("时间")
plt.ylabel("幅度")
plt.legend()
plt.show()