欧拉公式V-E+F=2的两种证明_区域的数量V+E - CSDN文库

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V=顶点 F=面 E=棱

证明思路一: 逐步减少多面体的棱数, 分析 V＋F－E．

先以简单的四面体 ABCD 为例加以说明．

1、去掉一个面, 再将它压缩为平面图形．四面体顶点数 V、棱数 E 与剩下的面数 F1

变形后都没有变．因此, 要研究 V、E 和 F 关系, 只需去掉一个面变为平面图形, 证 V

＋F1－E＝1．

2、将所得的平面图形外围的线段逐一去掉．每去掉一条线段, 就减少一个面, V＋F1

－E 不变．依次去掉所有的外围线段, 变为“树枝形”．

3、从剩下的树枝形中, 逐一去掉线段, 直至只剩一条线段．每去掉一条线段, 就减少

一个顶点, V＋F1－E 不变, 最后只剩下一条线段, 此时 V＋F1－E＝2＋0－1＝1．

4、以上过程 V＋F1－E 不变, V＋F1－E＝1．所以加上去掉的一个面, V＋F－E＝

2．

对任意的简单多面体, 运用这样的方法, 都是只剩下一条线段．因此公式对任意简单多

面体都是正确的．

证明思路二: 计算多面体各面内角和．

设多面体顶点数 V, 面数 F, 棱数 E．剪掉一个面, 使它变为平面图形(拉开图), 求所有

面内角总和∑α．

一方面, 在原图中利用各面求内角总和．

设有 F 个面, 各面的边数为 n1, n2, …, nF, 各面内角总和为:

∑α ＝[(n1－2)·180°＋(n2－2)·180°＋…＋(nF－2)·180°]

＝(n1＋n2＋…＋nF－2F)·180°

＝(2E－2F)·180°

＝(E－F)·360°(1)

另一方面, 在拉开图中利用顶点求内角总和．

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