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≅()下可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记345(2019)233-247www.elsevier.com/locate/entcs不可约导出闭集格苏淑华1、2齐力3福州师范学院,华东理工大学,福州,中国摘要本文研究了由Zhao和Ho(2015)发起的不可约导出闭集格。这一次,我们集中的闭集格所产生的不可约导出拓扑的斯科特polog y。 对于一个偏集X,所有不可约导出的Scott-闭集(简称SI-闭集)按包含序的集合Γ SI X构成一个完备格.引入了C-SI-连续偏序集和C-SI-预代数偏序集的概念,并研究了它们的性质.引入了SI-控制偏序集的概念,证明了对任意两个SI-控制偏序集X和Y,XY当且仅当它们上面的SI-闭集格同构。最后证明了具有SI -连续映射的强完备偏序集范畴是Cartesian-闭的。保留字:不可约集;强完备偏序集;CSI-连续;CSI-前代数; Cartesian-闭1引言Domain理论或更一般的偏序集理论体现了序和拓扑的结合。一个基本而重要的结果是偏序集是连续的当且仅当它上面的Scott-闭集的格是完全分配格。然而,对于一个非连续偏序集,很少有人知道的序理论性质的斯科特闭集格。为了研究一般非连续偏序集上的Scott-闭集格,Ho和Zhao在[4]中引入了C-连续偏序集的概念,并证明了偏序集上的Scott-闭集格是C-预代数格,特别是C-连续格。借助于C-连续性,他们得到了一些好的结果,如:(i)对于完备半格P,完备格L同构于Scott-闭集格当且仅当L是弱稳定C-代数的;(ii)对于任意两个完备半格X和1本工作得到国家自然科学基金项目(NO.11861006和NO.11561002)的资助2电子邮件:sushuhua913@163.com3电子邮件:qli@ecit.cnhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.07.0261571-0661/© 2019作者。出版社:Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。234S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)⊆⋃⊆⊆≅≅[客户端](2)一个集合在Irrτ(X)中当且仅当它的闭包在Irrτ(X)中;()下是一些基本的性质σX。集合如果对于闭集合A,B<$X,其中F<$A<$B有F<$A或F<$B。的(1)每一个单元素都是不可约的;X中的有向集D,则只要有向集D存在,则。 该组= ↑4)X的每一个有向集都是不可约的。((表示X的所有Scott闭集的集合。因此,子集C∈X是Scott闭的Y,XY当且仅当它们上面的Scott-闭集格同构。 在第六届领域理论国际研讨会上的一次特邀演讲J. D.劳森强调需要在T0空间的更广泛的背景下发展域理论的核心,而不是局限于偏序集。 正如有向集对于整环一样,不可约集在T0空间中也起着重要的作用.T0空间X的非空子集F是不可约的,如果对于任意两个闭集A和B,一个人要么有FA,要么有FB. Zhao和Ho [9]在T0空间的背景下通过选择不可约集发展了Domain理论的核心。他们研究了由任意给定拓扑构造的不可约导出拓扑,集 此外,他们还得到了一个有趣的结果,即偏序集的Scott拓扑恰好是其Alexandro拓扑的不可约导出拓扑。然后,Zhao和Xu基于Scott-闭集格建立了几类SCL-忠实dcpos,并识别了几类Cσ-唯一dcpos. 10,11受上述工作的启发,本文研究了由Scott拓扑的不可约导出拓扑所产生的闭集格.本文的安排如下。在第二节中,我们回顾了本文将用到的一些基本材料,并通过不可约导出拓扑的定义,得到了Scott拓扑的不可约导出拓扑。在第三节中,我们利用SI-闭集定义了偏序集上的C-SI-连续性,并研究了它的性质。在第四节中,我们定义了SI-支配偏序集,并研究了SI-支配偏序集上的SI得到了与文献[4]类似的结论,即对任意两个SI-支配偏序集X和Y,Y当且仅当它们上面的SI-闭集格同构。第五节证明了具有SI-连续映射的强完备偏序集范畴是Cartesian-闭的。2个房间给定一个拓扑空间(X,τ),X的一个非空子集F称为X的所有不可约集的一个不可约集,记为Irrτ(X)。在不可约集上,这里命题2.1(Gierz等人,[2])对于任何拓扑空间(X,τ),它成立:3) 不可约集的连续象也是不可约的;偏序集X的子集U称为Scott-开的,如果(i)U U,和(ii)对于X的任何所有Scott-开集,在X上形成一个拓扑(称为Scott拓扑),记为 一个Scott开集的补集称为Scott闭集。我们使用Γ(X)来当且仅当(i)C= ↓C,且(ii)对于任何有向集D<$C,如果<$D存在,则S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)235是有向的,x=x。y∈A。d∈D。∈()()∈ ↡={ ∈}x,y∈X如果对任意有向集D,且存在有向集D,b≤D蕴涵a≤d,(1)C=↓C;()()下一页(1)X上的SI-拓扑是下遗传的;F ∈ Irr σ(X),其中存在有.上确界在↓s中,在这种情况下,)∈()∈()∈==表示为σSI(X)。根据[9]中的定理3.2,σSI(X)是X上的拓扑,并且4 对于任何xX和任何不可约集F,xF蕴涵xF。SI-闭集称为SI-开集,并且(X,τ)的所有SI-开集的集合是(2)对任意x∈X,从↓x到X的包含映射是SI-连续的;命题2.5(Zhao和Ho [9])偏序集X之间的函数f∶X-→Y引理2.6(Xu and Mao [6])设X是偏序集,A ∈ X. 如果s,t是2个上不可约集;华盛顿特区 关于包含关系,σ X和ΓX称偏序集X的子集A是凸的,如果对任意x,y,z ∈ A,x,z∈A蕴涵:设X是偏序集.<<$C当p∶X×Y-→X和p∶X×Y-→Y2 12时,我们有p(F)=u和p(F)=v。因 此 ,F=(p(F),p(F))=(u,v)=z.⋁⋁ ⋁⋁1 2 12是投影图由于X和Y具有较低的遗传SI-拓扑,(2)(3)设F是一个具有最小上界b的不可约集。 则b是由命题2.5得出b是F在X中的上确界。(3)(1)设E是SI-闭集.在E中是SI-闭的子集B很容易被证明在X中是SI-闭的。反之,设A在X中是SI-闭的。然后EE. 承担以表明E是E中的SI-闭集,设F是E中的不可约集,由A的SI-闭性可得b∈A。因此b∈A∈E。这表明(3)<$(4):假设F是一个不可约集,x=<$xF。 则x是a(4)<$(3):设y是不可约集F的极小上界。 则y = yF.应用引理2.7,我们得到以下推论。推论2.8每个scpo都有一个下遗传SI-拓扑.引理2.9(Mao和Xu [5])设X是偏序集,x∈X,A<$↓x=C. 则存在A的上确界,其中A表示A在主理想中的上确界应用引理2.7和引理2.9,我们得到以下推论。推论2.10每个半格都有一个下遗传SI-拓扑.命题2.11设X和Y是具有下遗传SI-拓扑的偏序集.然后1X的每一个按继承序的凸子集A也有一个下遗传SI-拓扑.特别地,X的每个SI-闭集都有下遗传SI-拓扑;2积XY也有一个较低的遗传SI-拓扑.证据 (1)设FA是具有最小上界z的不可约集A. 则z也是F在X中的最小上界,因为A的凸性,因此是F在X中的上确界。((2)设F<$X×Y是具有最小上界z=的不可约集u,v)。那么很容易看出u是p1(F)的最小上界,v是因此,X ×Y具有较低的遗传SI-拓扑。◻3CSI-连续偏序集在本节中,我们用SI-闭集定义偏序集X上的一个新的辅助关系。然后引入了C-SI-连续偏序集和C-SI-代数偏序集的概念,↓S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)237(1)x≤SIy;(4)R映射r=(CC)∶ ΓSI(X)-→X有一个下伴随;所有x∈X。(1)(X,τ)是C-SI-连续的;X的集合。◻⇓ ⊆ ⇓ ⊆ ↓ ∀∈集合{x∈X ∶ y<$x}由y表示。思思检查了一下那个小弟弟和小弟弟。SIk-有界清醒。 因此,=。SI推论3.5设X是偏序集,且x ∈ X,则X是X的SI-闭集. SIx<$ w;(3)对所有x∈X,0 <$x,只要X是点偏序集.思思(5)R映射r∶ ΓSI(X)-→X保持所有已有的infs;不是这样的如果(X,≤)是k有界的,且定义在[8]中,则n =n。SIn(≤ ∞)或n= ∞,n≤m。 则(X,≤)是偏序集。 [7]我们知道22 12由yx∈y,如果对任意非空的SI-闭集C∈X,且C∈C存在,则关系SI3)x ∈ <$J(y),其中J(y)={C ∈ Γ(X)∶ y ≤ C}.SI例1. 设X=(N×(N<${∞}))<${∞},如果满足下列条件之一,则定义x≤y实施例2. 设X = N ×(N ∈{∞}),定义(m,n)≤(m,n),若m = m,n≤ n,0000注3.2Obviously,对于nyposet(X,≤),[4]中定义的k和k是quiteeSI(2)对每个x∈X,集合<$SIx是最小SI-闭集C,x≤ <$C;I'mnotsure.I'mnot sure.持有:对于我们研究SI-闭集格的性质具有重要意义定义3.1设X是偏序集,x,y∈X。 我们说x在y之下,记为<$C ≥ y总是意味着x ∈ C。 我们将集合{x ∈ X ∶ x <$SIy}表示为<$SIy,diamerent。由于ΓSI(X)<$ Γ(X),x<$y意味着x<$SIy。然而,反过来说,条件成立:(1)y=0;(2)x=(m1,n1)和y=(m2,n2),其中m1=m2,n1≤C=N×(N <${∞})是一个不可约的Scott闭集,且<$C =<$。因此,很容易或n0= ∞且n≤m0.如文[7]所指出的,Scott空间(X,σ(X))是注3.3设X是偏序集.则(1)x<$SIy<$x≤y;(2)x≤y<$SIz≤w蕴含命题3.4对于偏序集X,下列条件等价:(2)对每个SI-闭集C,x∈C,且y≤<$C,只要<$C存在;证据 根据命题3.4,我们有<$SIx=<$J(x),因此<$SIx是SI-闭的定义3.6偏序集X被称为CSI-连续的,如果它满足x= πSIx,一个C-SI-连续偏序集如果也是一个完备格,则称为C-SI-连续格. 显然,我们有xSI xx,XX通过注3.2,因此每个C-连续偏序集也是C-SI-连续的。命题3.7对于一个完备格X,下列等价:(3)对每个x∈X,存在一个最小非空SI-闭集C使得x≤ <$C;6)对于X的SI-闭集的任何集合{Ci∶i∈I},有下列方程i∈Ii∈I238S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)( )()∈∈()因此M<$$>J(x)<$M。 因此M =J(x)=x。SI()下(5)惠(6):显然。◻⊥第3.7章又来了◻⊥◻()()(())(())( )()∈−(↑)=()非空的SI-X的闭子集C,其中C ≥x。C=C/{x}是C=C ∈{n}是X的最小非空SI-闭集,其中n ∈C ≥x. Ifxx其中,根据命题3.7,我们的X是C连续的。Conversely,supposepuzzi证据 设X是C-连续的,且x∈X. 如果x∈X,则存在一个C的界(3)惠(4):通过伽罗瓦连接的定义,映射r具有较低的djointSISISIC中的SIu。事实上,对于所有v∈<$SIu和所有A∈ΓSI(C)且<$CA≥u,我们有定义2.2和推论2.10证明了A≥∈ΓSI(X)。从引理2.9可以得出,SISI利用X的C-SI-连续性和引理2.9,u=<$$> C-SIu=<$C-SIu.显然,u是SIu在C中。 则t是上界,u在C中。 因此u=u≤t。C-连续的。SI因此,(1)、(2)和(3)是等价的。SISISI证据 12:条件(1)成立当且仅当对于每个xX,SIx J x定义3.6 故(2)。条件(2)平凡地蕴涵着(3)。(3)如果J(x)有最小元素M,则M<$C,对所有C∈J(x),当且仅当minrx的元素。1(↑x)对所有x都存在。 但minr−1(↑x)恰好是最小45:根据[2]中定理O-3.3,该映射保持了infs54:显然,对于任何xX,r1xjx,这意味着唐飞是最后的。 因此,在[2]中,该映射有O-3.4的下伴随。命题3.8偏序集X是C-SI-连续的当且仅当X是C-SI-连续的,其中X是从X通过邻接一个新的底元素得到的偏序集。X的最小非空SI-闭集Cx,其中满足条件x∈Cx ≥xby命题3′. 7. 如果x={0},则由注3.3可知,C {0}= {0}是X {0}的最小非空SI-闭集,且X{0}是C SI-连续的且x∈X。通过Pr′oposition 3.7 ,存在X 的最小最小非空SI-闭集Cx ,且满足<$Cx≥x.因此X是CSI-连续的命题3.9设X和Y是偏序集, X,σXY,σ Y。如果X是C SI-连续,则Y也是C SI-连续。证据当然了命题3.10设X是C-SI-连续半格.则X的每个主理想都是C-SI-连续的.证据 设X是C-SI-连续半格. 我们主张,对于a<$llx∈X且u∈↓x=C,<$u<$$> Cu成立,其中<$Cu表示子集x<$CA=<$A≥u. 因为v ∈u,所以有一个v ∈ A。 这表明v ∈ <$C u。在主理想C= ↓x中的上界 假设t是任意一个上限这表明,<$C<$Cu=u。因此,对于所有x∈X,主理想C= ↓x是SI命题3.11设X是半格。若X的每个主理想都是C-SI-连续的,则X是C-SI-连续的.S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)239我们有Bx= x=x. 由于y∈<$Cx,存在u∈<$Bx使得Bc=i∈I}的有限个子集,则以下等式成立:(1)X是CSI-连续的和连续的;X,所以a≤b。◻分配的◻)y∈SIx∈a,我们将证明y∈a。 设A<$X,其中a≤<$A。构建体x<$SIa≤<$Fi. 这使得di∈Fi,x≤di. Letf∈Fi∈IFi e由y定义并且是连续的。 因为X是连续的,所以对于每个a∈X,a=a。 现在对于每一个bya(respectively vel y,b). 这就要求a≤b。 L e ta=<$i∈I<$Fi和x<$SIa。不可约的,且λE=λA≥a。由于x∈A,存在有限子集B∈A,使得证据 设对所有x ∈ X,主理想C = ↓x是CSI-连续的.对于某个d∈B<$A,y≤d。这意味着,y=a。因此,X完全SISISI在假设下,A=z≥x,主理想B= ↓z是CSI-连续的. 通过推论3.5和2.10,<$Cx ∈ Γ SI(B),因此<$Cx ∈ Γ SI(C)。 根据引理2.9,ΓSI一zΓSI B存在a∈A使得a≥u≥y。 这表明y∈xandthus通过C= ↓x的C-SI连续性和引理2.9,我们有x=<$B<$Bx=<$B <$Bx。≤∈( )⇓XX.SISI我们称之为CxX。 事实上,对于所有y∈ <$Cx和所有A∈Γ SI(X),SI思思ySI=SI≥01-02 )的方式再次由推论3.5和2.10得出: 从u ∈B x可以得出:很明显x是一个上界SI思思思思X中的SIX。假设t是X中的X。 则t是Bx在X中的上界。 因此xB x t。这证明了B = x,因此X是C SI连续的。◻利用命题3.10和3.11,我们直接得到了C-SI-连续偏序集的主理想的如下定理3.12设X是半格.则X是C-SI-连续的当且仅当X的每个主理想都是C-SI-连续的.命题3.13设X是C-SI-连续格. 对于任何集合{F i:⋀⋁ F i=⋁⋂ f (i).i∈If∈i∈IFi∈I特别地,每个C-SI-连续格空间都是分配的.证据 表示等式的左侧(分别表示右侧)F或eachi∈I,集合<$Fi=<$y∈Fi<$y是由y<$y∈ΓSI(X)构成的SI-闭集,且f(i)=di,i∈I. 设nx≤ni∈If(i)≤b. 因此,a=0,SIayeCSI-连续定理3.14设X是完备格. 则以下是等价的:2 X是完全分配的。证据它表明,(1)(2)。假设X是 C-SI连续的,xa,x=SIx.它遵循a=<${y∈X∶ <$x。ySIxa}。 其次设E= {A:B是A的有限子集}.则E是有向的,因此x ≤ <$B =<$↓B。注意最后一个集合↓B是SI闭的。所以它由y∈SIx得出引理3.15对任意偏序集X,如果C ∈ Γ(Γ SI(X)),则<$C ∈ Γ(X)。联合 由于X与现有x,我们有A和SI240S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)cl(D) <$D∈D}是Γ(X)的有向集. 更进一步,对于任意D∈D,σSISIκSI(X).(1)若r∈κSI(X),则r是互质的;()()())I(X)的不可约集。β(r)西河因此r是CSI-紧的。或↓d∈ B,因此F<$(<$A)<$(<$B)。根据引理3.15,<$A,<$B ∈Γ(X),因此注意,<$rSI(X)F精确地是↓<$F。因此,对于某个C∈C,<$F∈C。◻在X.我们想证明对于某些C∈C,根据引理3.16,我们有且n=xn。 因此r∈C,这意味着r≤x或r≤y,因此r是互质的。因此↓d ∈ A。 因此,F = {↓d ∶ d ∈ F}是Γ SI(X)的不可约集.◻()方程,证明了∑C ∈ΓSI(X).由引理证明<$C ∈Γ(X)集合β(r)= {x∈ X: X轴 r} 是一个有向集,因此β(r) 是不可约的用κSI(X)表示X的所有C-SI-紧元的集合。F(A)或F(B)。在不失一般性的情况下,我们假设F A和F = {↓d∶d∈F}是ΓSI(X)的不可约集. 此外,FC,因为C是证据 设C<$={C ∈ Γ(X)<$ $ > V<$∈ Cs.t. C <$V},则C <$C <$且<$C =<$C<$。iCsaV∈CsuchthatD<$V,thusclσSI(D)<$V. 如果C是一个低集,则clσSI(D∈)∈紧凑;因此,我们只需要展示 由[4]中的命题4.1证明了∈ Γ(Γ(X)). Oboughtviouboughtsly,{是Γ(X)的下集合。对任意有向集D <$r(X), ,D =. rDefaqore,DI(X)D是一个简单的函数,∈C. As<$r(X)D <$<$r(X)D ⊆I(X),<$Γ(X)D∈ C. 综上所述,C∈Γ(Γ(X)).◻引理3.16对任意偏序集X,如果F∈Irrσ(X),则F = {↓d∶d∈F}是一个证据 设A,B ∈ Γ(Γ SI(X)),使得F <$A <$B,则对任意d ∈ F,有 ↓d ∈ A因此,对于任意d ∈ F,存在A ∈ A使得d ∈ A。 因为A是一个较低的集合,↓d<$A,命题3.17设X是偏序集且C ∈Γ SI(Γ SI(X)). 则ΓSIX C =C。证据 注意C的成员是Γ SI(X)的SI-闭集。 为了证明3.15. 现在设F是X的包含在X ∈ C中的任何不可约集,使得X ∈F存在一个较低的集合在ΓSI( ΓSI(X))。 由于C是Γ SI(X)的SI-闭集,所以<$ΓSI(X)F∈ C.定义3.18偏序集X的元素x称为C SI-紧的,如果x<$SIx。显然,[4]中定义的每一个C -紧元都是C-SI-紧的,因此κ(X)是命题3.19设X是一个格。2如果X是一个完全分配格,则每个互质元素都是CSI-3 若X是完备格且κ SIX,则κSIX是关于从X继承的序的点序.证据 (1)设r∈κ SI(X)且r≤x∈y。设C= ↓{x,y}。则C是SI-闭的(2) 设X是完全分配格,r∈X是互质格.注意,集合和β(r)= r。 由于x<$r意味着x <$SIr,因此从推论3.5可以得出:S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)241设C∈ΓSI(X),其中<$F≤<$C. 因此,对于所有d∈F,d≤<$C。 由于FκSI(X),(3) 设F是κ SI(X)中的不可约集. 它表明,如果是,则是。242S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)从X。◻(1)X是C-SI-代数的;a<$κ SI(X))∈ Γ SI(X).()下∈ ↓ ≺( )的方式x ≤ k ≤y。因此↓x ∈C。κ(Γ SI(X))。↓()a<$κ SI(X)<$$>SIa <$$>a和a =<$(↓a <$κ SI(X))=<$↓a。 在这种情况下,我们称之为C SI-不可约的,我们有<$F∈C。 因此,◻SI-闭集C= ↓(↓y<$κSI(X))由(1),存在一个k∈↓y<$κSI(X),其中x≤k,且≤ ≤ ≤ ≺ ≤≺( )()∈=对所有x ∈ F,则<$F<$SIy。C ∈ Γ SI(X),其中<$F≤ <$C。 对于任意x ∈ F,x<$SIx且x≤ <$F,x <$SI<$F且故F∈C,故F <$SI<$F,即,<$F∈κSI(X). 此外,0SI0意味着,对于任意x<$SIy,存在一个CSI-紧元k,使得x≤k≤y由(2),所以我们↓(↓a 一个CSI-预代数子集X是CSI-代数的,如果对任意ya∈X,证据 设C∈ΓSI(X)是非空的,使得存在y≤<$C.以来证据 设x∈C. 设C ∈ΓSI( ΓSI(X)),其中C∈ΓSI(X)C. 然后CC由只证明了对任意满足F<$<$y<$KSI(X)的不可约集F,<$F∈KSI(X).让因此,对于所有d∈F,d <$SI d,因此F<$C。 因为C∈Γ SI(X),这意味着0∈κSI(X)。因此,κSI(X)是关于继承命题3.20设X是偏序集,C是X的非空SI-闭集。则对于每个x C,x SI C在ΓSIX中成立。3.17号提案因此,存在A∈ C使得x∈A。这意味着↓x<$A,推论3.21设X是偏序集。则对于每个x∈X,它保持:↓x∈D(定理3.22称偏序集X是C SI-预代数的 ,如果对于每个a ∈ X,a =备注3.231 显然每个C-SI-预代数偏序集都是C-SI-连续的,因为(预)代数偏序集也是完备格,即CSI-(预)代数格.2每个CSI-预代数偏序集都是C-预代数的.命题3.24设X是偏序集,F∈Irr σ(X),且存在∑F. 如果x≤SIyx<$SIy,则F<$C。 因为C是SI闭的,F是命题3.25在偏序集X中,下列陈述是等价的:2)X是CSI-连续的,且x<$SIy当且仅当存在k∈κSI(X),证据 12:假设(1)和x,yX,其中x是的。因为y C和thusx k y。 反之,设x kSI k y,则有xSI y。X的C-SI连续性直接由注3.23得出.(2)n(1):设(2)且y∈X。则y=<$SIy,且<$SIy是SI-闭的。从而得出y=<$(↓y <$κ SI(X))的结论。 进一步地,↓(↓y <$κ SI(X))∈Γ SI(X)。 其实我们S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)243因此FC。 然后我们有<$F ∈C,由C∈ΓSI(X)。◻命题3.26对任意偏序集X,格Γ SI(X)是C SI-预代数的。244S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)(1) ΓSI(X)是连续格;(()))()()()且C=C。SI∇ ()⊲ ≺ ∈( )的方式◻′∈()′≺′C.SI映射↓∶ X-→ κ SI(Γ SI(X)),x <$↓x是一个序同构.C= ↓x。◻命题4.5设X是SI-支配偏序集. 则C ∈ κ SI(Γ SI(X)),如果且κ(ΓSI(X)),则<$SIC是ΓSI(X)的SI-闭集且<$SI(X)<$SIC=C.以来证据{T↓his由推论3.20得出,并且C = x∈C↓x =D′定义4.1给定C′,C∈ΓSI(X),如果存在x∈C使得是的。 I′f:设C ∈ΓSI(′X). 通过一个假设,我们有一个<$S IC={C′∈I(X)<$C′<$I(X)x∶x∈C}对每个C∈ Γ SI(X)成立.◻推论3.27对于任意偏序集X,下列陈述等价:2Γ SIX是一个完全分配格。证据(1)惠(2):由定理3.14和命题3.26可知。◻4SI-支配偏序集的SI-闭集格对于两个dcposX和Y,ΓXΓY XY,Ho等[3]给出了一类新的domDCPO,其结果成立.类似地,我们首先定义了SI-支配偏序集,然后研究了格的一些性质 ISIX,在它。C↓x. 对于集合{C ∈ Γ SI(X)<$C <$C},我们记为<$SI C显然,ΓSI(X)的元素C具有形式↓x当且仅当C<$C成立命题4.2C′C蕴涵C′对于所有的C′,C<$SIX。证据 这是第3.20号提案。接下来,我们给出偏序集X的一个条件,它保证了逆蕴涵。定义4.3偏序集X称为SI-支配的,如果对于每个SI-闭集C,X,集合SIC在ΓSIX中是SI-闭的。莱姆a 4.4偏序集X是SI-支配的当且仅当C′∈SIC蕴涵C′∈C,所有的C,CΓSIX.C}={C∈ΓSI(X)<$C<$SIC},在推论3.5中我们证明了后者是总是封闭的。仅当:LetCSIC。因此,C必须是这样的情况,∈thatSIC.只有当C是主理想,即, C = ↓x,对于某个x ∈ X。此外,主要理想证据 通过推论3.21,证明了“仅当”部分。 设C∈C<$SIC,则C ∈ <$SIC。 因此,对于某个x ∈ C,C <$↓ x。这意味着定理4.6对于任意两个SI-支配偏序集X和Y,下列陈述是等价的:S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)2453)Γ (X)<$Γ(Y). 思思(2)σSI(X)<$σSI(Y);()∈(())族,则F= {<$E <$E ∈ E}是X的不可约集。SI也就是FB或FD◻证据 设B,D∈Γ(X),使得F<$B<$D,则对任意E∈E,E∈B或<$()下SI-闭集。◻≺空间A到B)和一个态射ev∶A×BA-→B,具有以下泛射f∶AC-→B满足ev○(id×f)=f.一()下一页连续o p en映射和pj(F) ∈Irrσ(Xj),其中nyj∈J,F∈Irrσ(X j)。∈}∈ ∶-→=(Pr′oof. 如果C′∈C,则通过定义y性能: 对于每个态射f∶A×C-→B,存在唯一的态射(1)XY;类似于[4]中引理5.1的证明,我们可以得到:对任意完备半格和任意C ΓSIX,SIC Γ SIX. 因此,可以很容易地检查以下结果。引理4.7设X是完备半格,C ∈ Γ SI(X). 如果E是不可约的E∈D所以E SIBSID。 由于E是不可约的,E SIB或E SID,命题4.8所有完备半格和完备格都是SI-支配的.对于某个x∈C,C<$↓x,因此<$C ∈C。 如果E是一个在CSSIC中不可约的族,则<$rSI(X)E <$$><$E∈E(<$E),且元素<$E∈E(<$E)∈C,因为C是推论4.9对任何SI-支配偏序集X,格Γ SIX是CSI-代数的.推论4.10每个完全分配格都是CSI-预代数格.5强完备偏序集范畴在本节中,我们证明了scpos范畴是Cartesian闭的。设SCPO是其对象是SCPOS并且态射是SI-连续映射的范畴(即,保持不可约集的SUPS的单调映射)。因此,每个点集都是SCPO的终端对象。设CPALG-SI是以C-SI-前代数格为对象的范畴,态射是保持SI关系的下伴随。一个具有终端和有限乘积的范畴称为Cartesian闭范畴,如果对于每一对甲乙丙存在一个对象BA(有时称为函数{设{Xj∈J}是一个非空的scpos族,X=Xj∈JXj是XjjJ. 则对于一个nyjJ,第j个投影pjX Xj是一个全Scot,更进一步,对于任意的FIrr σ X,很容易证明FpjFjJ. 因此,我们知道SCPO类别在有限产品下是封闭的。设X和Y是两个spos,[X→Y]SI表示所有SI-连续的集合246S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)【→】也是[X→Y]的有向集。则存在n(x),且D(x)=g(x)。它是g∈D∈ [→]≤ 惠( )≤( )∈F∈Irr(X),σ≤g ∈ [X→ Y]<$g(x)∈ B} ∈ Γ([X →Y]). 思思X→ Y]和D →B。As[X→Y]→[X→Y]且[X→Y]是dcpo,DisSISI容易检查{g(x)<$g∈D}是Y的有向集,{g(x)<$g∈D}<$B。∈B B ∈([→])<$t[hatA<$B<$C,对于任意B,C∈Γ(Y),则B ={g∈[X→Y]SI<$g(x)∈B},C={g∈A <$B,这意味着A= {g(x)<$g ∈ F} ∈Irr(Y)。 因此, 存 在xg(x)。σg∈FFX<$→BY]SI<$g(x)∈C}∈Γ([X→ Y]SI)和F<$B<$C. AsF∈Irrσ([X→Y]SI),X→ Y]是SCPO。SI[g∈F∈̃∈×̃={()∈=}X × Z的一个不可约集,且<$E x0 =(x0,<$E)。̂f(F)=g(F)=(g(F))=(g(x))=(g(x))=f(x)=f(F),(1)对于z0Z,定义F z0X <$Z为F z0x,zxF,zz0。 那么F z 是一从X映射到Y,并定义顺序为f,g XY SI,fgf xgx,xX.则XYSI是偏序集,我们可以得到以下结果。{引理5.1Let X和Y是两个scp os且B∈Γ(Y),则f或任意x∈X,B =[Pr oof. 显然,B是[X→ Y]SI的下子集。LetDe是一个有向集,现在,令f(x)=<$D(x),对任意x∈X。 当B∈Γ(Y)时,f(x)∈B. 此外,对于任何g∈Dg∈Dg∈Dx∈Fx∈F g∈Dx∈F这意味着F。 综上所述,ΓX YSI。命题5.2对于任意两个scpoX和Y,[X → Y] SI是scpo。证据 设F∈Irr σ([X→Y]SI),对任意x ∈ X,A= {g(x)<$g∈ F}. 假设或F C。在不失一般性的情况下,我们不妨假设F <$B,因此现在令f(x)=fg∈Fg(x),则对任何F ∈Irr σ(X),f(F)==x∈F x ∈F g ∈Fg ∈Fg(综上所述,对任意F∈Irrσ([X→Y]SI),有<$F=f且<$F∈[X→Y]SI,因此引理5.3假设F(resp. E)是X的不可约集合(分别为,Z)。X×Z∈H且<$Fz0=(<$Fz0,z0)的不可导集。̂(2)对于x0∈X,定义E x0∈X×Z为E x0= {(x,z)<$z∈E,x=x0}。 则E x0为证据 这里我们只显示(1),(2)类似。显然,<$F<$z0=(<$p1(F<$z0),<$p2(F<$z0))=(<$F,z0).S. 苏角,澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345(2019)247或Fp(B)。假设F∈p(A),n=11⊆⎪⎨0∈2()×◻()()=的 ()= ( )=()=( )的情况下( )fzFfF,zfFf Ff zF. 00z z0Z,f(z)=f(Z,z)∶X→Y是SI-连续映射. 显然,f(z)是000Z-→ [X →Y],其中f(z)(x)=f(x,z),对任意z ∈ Z和任意x ∈ X. SI()=()=()()=(○)()={ ()( )∈ } ≤a,g)∈F,g(a)≤y,则f(a)≤y.因此p2(A)=p2(B). 当F∈Irrσ(X)且p1(A),p1(B)∈Γ(X)时,有F<$p1(A)也就是说,a≤x,g≤f,所以g(a)≤f(x)。 这意味着f(x)是N{ext,w}必须满足f(x)=ev(F)=vv(F)。Infa c t,则v(F)=fxf pFf aa,g Fy.1让Fz0 当A,B∈Γ(X×Z),F∈p1(A)∈p1(B),z0∈Fz0A z p AA=0.这意味着Fz0是X Z的不可约集。命题5.4若f∶X×Z-→Y是SI-连续映射,则f∶证据 步骤1:f是一个定义良好的映射。我们需要证明,对于一个llz0∈单调 设F ∈ Irr σ(X). 这是例行公事,0 0这表明f是一个映射。第二步:f是SI-连续映射.设F∈Irrσ(Z),则f(<$F)(x)= f(x,<$F)=<$f(x,F)=<${f(z)(x)<$z ∈ F}=(<$f(F))(x).命题5.5求值图ev∶X×[X→ Y]SI-→Y是SI-连续的。证据 设F∈Irrσ(X× [X→Y]SI)且<$F=(x,f),则x=<$p1(F),f=<$p2(F)=<${g<$(a,g)∈F}和f(x)= f(p1(F))= f(p1(F))=(f ○ p1)(F).<$g(a)<$(a,g)∈F}意味着对所有(a,g)∈F,我们有(a,g)≤<$F=(x,f),(e v(F),即, f(x)= f(x),f(x)= f(x)Lety∈Y是ev(F)的上界,则对所有总的来说,我们有fxevFevF。定理5.6SCPO是Cartesian闭的。其次,类似于Ho和
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