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关于Schur多项式谢尔盖·福明,迪玛·格里戈里耶夫,DORIANNOGNENG和E'rIcScHOST2018年10月8日,抽象。半环复杂性是算术电路复杂性的一种,它只允许两种运算:加法和乘法。证明了Schur多项式s λ(x1,. . .,x,k)的有界性是O(log(λ1))的.关键词 半环复杂性,Schur函数,Young tableaux。主题分类。 2010年数学科目分类小学68Q25,中学05E05。1. 导言和主要结果设f(x1,. . . ,xk)是具有非负整数系数的多项式。因此,f可以仅使用加法和乘法计算,而无需减法或除法。更准确地说,可以构建一个算术电路,其中◦ 每个门执行加法或乘法运算◦ 输入是x1,. . .,x k,可能还有一些正整数标量;◦ 唯一的输出是f(x1,. . . ,x k)。f的半环复杂度(或{+,×}-复杂度)是(即,在)这种算术中的最小数目的门电路.这个概念如图1.1所示。更多详细信息,请参见Fomin等人(2016,第2节)及其参考文献。arXiv:1608.05043v2 [cs.CC] 2018年5月2Fomin,Grigoriev,Nogneng Schost/×关于我们✻×♥✻❅■❅公司简介✻❅■❅×♥❅公司简介✻❅■/✒/✒✻❅■❅//下载♥联系我们❅❅公司简介//×♥联系我们x1x2图1.1:计算多项式的最小+,f(x 1,x 2)= h 5(x 1,x 2)= x5+ x4 x 2+ x3 x2+ x2 x3+ x 1 x4+ x5。这1 1 1 2 1 2 2 2电路利用公式H5(x1,x2)=(x1+x2)(x2(x2+x2)+x4)。1 1 2 2本文研究对称多项式的半环复杂性的判定问题。更具体地说,我们把注意力集中在舒尔函数,一类重要的对称多项式,在数学的几个分支中发挥着突出的作用;见,例如,Macdonald(2015,Chapter I)andStanley(1999,Chapter 7).设λ=(λ1≥λ2≥···≥0)为整数分拆。的Shurfunction(or Shurpolynomial))sλ(x1,. . . ,xk)是一个symmet。三次多项式|λ|=iλ i在变量x1,. . .,xk其可以以许多不同的方式来定义。一个令人瞩目的fea-舒尔多项式的一个令人兴奋的研究对象,在代数复杂性理论是经典公式定义他们分为两类。一方面,有行列式表达式(例如,Jacobi-Trudi公式或双交替公式),其提供了在无限制设置中计算Schur函数的有效方法,即,当所有的算术运算都被允许时。另一方面,Schur函数是半标准Young tableaux的生成函数。这种描述将它们表示为具有明显正系数的多项式;因此它们可以使用加法和乘法来计算×Schur多项式的半环复杂性3′1J2JJ14仅限折叠。然而,我们注意到,基于这些单项展开的朴素方法产生的算法(半环)复杂度非常高,实际上离最优值很远。我们的主要结果如下。 (We使用符号λ′=(λ′≥λ2 对于与λ共轭的分区,≥· · ·)。THEOREM 1.1. 给出了Schur多项式s λ(x1,. . . ,xk)的时间复杂度为O(log(λ1)k52kd),其中d =max λ′(k −λ′).由于k≤k(否则s(x,. . .得双曲余切值.)= 0)且d≤k2,我们得到:推论1.2。Schur多项式的半环复杂性1s λ(x1,. . . ,xk)的上界为kk(4 +o(1))O(log(λ1)). 如果如果变量的个数k是固定的,那么复杂度为O(log( λ1))。REMARK 1.3.在数值计算中,设计有效的加法和乘法算法的问题自然会 出 现 , 因 为 这 些 算 法 具 有 有价 值 的稳 定 性 。 出 于 这 些 考 虑 ,Demmel& Koev(200 6)使用动态规划方法设计了一种用于约束S chur多项式的{+,×}-lgorithms。在的符号中在1.1或5.3中,Pr o p oson l oc。 c它。一个简单的例子是,sλ( x1,.. . ,x k)的时间复杂度为O(e5. 2|λ| Oakland)。当k是固定的,并且形状λ增长时,这个界限要大得多比推论1.2中的要多 另一方面,在λ固定而变量数k增长的情况下,Demmel-Koev算法的复杂性是关于k的线性的,而定理1.1中的界是关于k的指数的。如果能找到这些结果的共同概括,那将是很有趣的。我们分两个阶段证明定理1.1在第一阶段(见第3节),我们处理一个特殊情况,其中划分λ只有一个(非零)部分。更明确地说,我们得到以下结果。回想一下,完全齐次对称多项式Σhn( x1,.. . ,xk)=1≤i1≤···≤in≤kxi1···xinλK4Fomin,Grigoriev,Nogneng Schost是变量x1,. . .,xk. 参见图1.1中的示例。THEOREM 1.4. 证明了完备齐次对称多项式HN(x1,. . . (k=1),时间复杂度为O( n)。我们在第6节中给出的定理1.1的证明依赖于三个主要成分:◦ 定理1.4;用完全齐次多项式表示可壳偏序集的多链生成函数的公式,见第4节;◦ 作为多链生成函数的舒尔多项式的表示,或者更确切地说,其迭代和,见第5。2. 相关问题确定Schur多项式的半环复杂性的一般问题是公开的。特别是,以下棘手的问题仍然无法解决。问题2.1(Fomin等人,2016,问题3.2)。是s λ(x1,. . . ,x k)由k中的多项式限定,并且|λ|?REMARK 2.2. Schnorr(1976)提出了一种获得半环复杂性下界的一般方法。Schnorr的界限仅取决于多项式的支持,即,对正系数有贡献的单项式的集合。施诺尔氏Shamir &Snir(1977)进一步完善了这一论证; Jerrum &Snir(1982)给出了强有力的应用。 如Fomin et al. (2016,备注3.3),Schnorr型下界在Schur函数的情况下是无用的,因为计算Schur 函 数 很 困 难 ,不 是 因 为 它 的 支 持 , 而 是 因 为 它 的 系数(Kostka数)的复杂性。计算单个Kostka数的问题是P-完全的(Narayanan2006),而Schur函数的支持是很容易确定的。◦Schur多项式的半环复杂性5关于我们{− ×}REMARK 2.3. Fomin等人 (2016)研究了半环复杂性的概念以及其他类似的计算模型,涉及算术运算的限制集。总之,本文给出了在上述文献中所得到的结果. 前引书,与Jerrum Snir(1982)和Valiant(1980)证明,在某些情况下,对允许的算术运算的二元集+,进行相邻的减法和/或除法可以显著降低计算复杂性。(By相反,从+,中去除除法只需要多项式代价,如Strassen(1973)所示。我们建议读者参考Fomin et al. (2016)讨论这些问题。REMARK 2.4. 在非限制模型中,可以计算Schur多项式s λ(x1,. . . ,xk)在k和log(λ1)的时间多项式中,通过双交替公式(Stanley1999,Section 7.15),并使用重复平方来计算相关行列式中出现的变量的幂。Fomin等人研究的一个重要的复杂性模型。 (2016)是无减法复杂度,它允许加法、乘法和除法运算。事实证明,舒尔函数的无减法复杂度确实是多项式:T HEOREM 2.5(Koev2007,第6节,Chan等人2008,第4节,Fomin等人2008,第10节,Fomin等人2008,第11节,Fomin等人2008,F 2016,定理3.1)。 Schur多项式s λ(x1,. . . ,xk)的时间复杂度为O(n3),其中n = k +λ1.在loc.前引书在本质上利用除法,所以它们不会使我们更接近问题2.1的解决方案。由于无减复杂度由上而下受半环复杂度的限制,定理1.1意味着一个特殊的Schur多项式sλ(x1,. . . ,xk)可以比定理2.5的上界小得多(对于小k)。问题2.6. 找到同时加强定理1.1和定理2.5的舒尔多项式的无减法复杂度的自然上界。6Fomin,Grigoriev,Nogneng Schost我⌊ ⌋−REMARK 2.7. Grigoriev &Koshevoy(2016)给出了单项式对称函数的{+,×}-复杂度的指数下界。3. 完全齐次多项式在本节中,我们证明定理1.4。我们固定k,使用符号Σhm= hm( x1,.. . ,xk)=1≤i1≤···≤im≤khm= hm(x2,. . . ,x2),xi1···xim,1kem= em( x1,.. . ,xk)=1≤i1··· ≤<$n <$$>且 b≥<$m−k<$$>≥<$n−2k+1<$=2 2 2 2n2k+ 1。因此,我们可以使用公式3.2来计算这些hm;这需要对于m的k个值中的每一个,O(k)运算。QSchur多项式的半环复杂性72≺n2∈3.3. babyBABY可以计算出e1,。. .时间复杂度为O(k2)。P屋顶。通 过 迭代Pascal型递推式得到了所需的算法em ( x1 , .. . , xj ) = xj em−1 ( x1 , .. . , xj-1 ) + em( x1,.. . ,xj-1)。 Q我们注意到,在无限制模型中,计算e1,. . . ,ek的阶为k log(k),参见Strassen(1972/73)。P屋顶(定理1.4)。设T(n)表示c_m_ti nghn−k+1,. . . ,hn.Lemma3.1和Lemma3.3表明T(n)≤ T(k)+O(k). ( 将变量x1平方,. . ,x,k,其中需要确定是否插入hub,takesline,a,t,k,i 我们可以包括T(n)= O(k2log(n)),如所期望的.Q4. 偏序集上极大链的线性序D定义 4.1(偏序集,链,正确排序). 设P是一个有限分次偏序集,它具有唯一的极小元素0和唯一的极大元素1. P的一个线性或非线性子集称为链。 我们用MaxChains(P)表示P中所有极大(通过包含)链的集合。 在上述假设下,MaxChains(P)中的所有链具有相同的基数m。让我们在MaxChains(P)上固定一个线性排序,并写为Q′Q以表示Q′(严格地)以这个顺序在Q之前。用于QMaxChains(P),我们表示(4.2)Qd=ef{c∈Q|Q−{c}<$Q′forsomeQ′<$Q}.因此,Q是由一个极大链Q中的那些元素组成的,这些元素可以被另一个元素替换,使得所得到的极大链在Q之前。我们称MaxChains(P)的线性序为真序,如果对于任何Q个MaxChains(P),Q之前的链都不包含Q≠:(4.3)Q′Q=Q′/Q。∈8Fomin,Grigoriev,Nogneng Schost≺∈≺REMARK 4.4. 在代数/几何组合学中,定义4.1中引入的概念传统上是用单纯复形及其壳的语言描述的;参见,例如, Wachs(2007)关于这个问题的介绍 在本文中,我们尽量避免使用这个术语,以保持论述的独立性. 下面的简短评论是为对更广泛的组合背景感兴趣的读者准备的,在后续文章中将不依赖这些评论。P的序复形是基集P上的单纯复形,其单纯形是P中的链。序复形的极大单形是极大链。Ma x C h a in s (P)的一个线性序被称为(序复形的)壳,如果对于任何Q个MaxChains(P),由单形Q ′与Q ′ Q形成的序复形的子复形(或者更精确地说,这个子复形的几何实现)在Q的余维1面的并集处与极大单形Q相交(的几何实现)。众所周知--也不难看出--任何炮击在定义4.1的意义上,顺序是适当的。更具体地说,通过(4.2)定义的子链QQ可以被看作与上述的交集的补(在Q内部)一致。余维1面对。换句话说,Q是唯一最小的脸,S不包含在子复形中的Q′Q Q′。我们使用极大链的适当排序的概念将依赖于以下关键引理。4.5. 设P是MaxChains(P)上具有适当线性序的偏序集,如定义4.1所示。对于链C和最大链Q,以下是等价的:(i) Q是包含C的最小极大链(关于MaxChains(P)上的线性序);(ii) QCQ(回想一下,Q是由公式4.2定义的)。PROF.这是一个很好的例子。 Letc∈Q。Ifc∈/C,则C包含在某个极大链Q′Q中(见(4.2)),矛盾(一)。Schur多项式的半环复杂性9||Q在相反的方向上,假设QCQ。设存在一个包含C的极大链Q′<$Q。然后Q′<$Q′,与公式4.3相矛盾。Q定义4.6(多链,支持)。一个“弱增”序列M={p1≤··· ≤pm}P称为大小为m的多链;我们写M = m。 出现在M中的P的元素(具有非零重数)形成M的支撑,记为supp(M)。多链的支持是一个链。让我们将形式变量zc与每个元素c∈P相关联。对于P中的M个元素Qt,我们不能通过ZM来计算,响应单项:zM=c∈M zc.4.7. blog 设P是一个偏序集,它的极大链具有一个适当的线性序,见定义4.1。(或者:假设给出了P的序复形的一个壳。) 然后,P中大小为m的多链的生成函数由下式给出:Σ(4.8)多链M|M|=mΣzM=Q∈MaxChains(P)∗zhm−|Q|((zc)c∈Q),其中Q由式(4.2)定义。P屋顶。根据引理4.5,P中的链的集合分裂成形式为[Q,Q]的(偏序集理论)区间的不交并通过对多重链M的支集进行分类,并将这一观察应用于C= supp(M),我们得到了恒等式:Σ多链M|M|=mΣzM=Q∈MaxChains(P)ΣQsupp(M)Q|M|=mzM,这意味着(4.8)。Q在第5节中,我们将把舒尔多项式与上述构造的一种特殊情况联系起来,这种特殊情况涉及下面定义4.9中描述的一类(可壳)偏序集Ph,k 这些偏序集10Fomin,Grigoriev,Nogneng Schost≤C1HH由于它们在表示论和经典舒伯特微积分中的作用,在代数组合学中得到了广泛的研究。特别是,Ph,k描述了格拉斯曼流形Gr(h,k)中Schubert细胞的附着。D定义4.9(偏序集Ph,k). 设h和k为正整数,其中h为k.我们用Ph,k表示偏序集,其元素是高度为h的列向量(或简单列)c,其条目位于集合{1,. . . ,k},并严格地向下增加:1000万美元(4.10)c =。Ch∈Zh, 1 ≤c1 <··· 0和λ n> k意味着s λ(x1,. . . ,xk)= 0。我们使用符号n=|λ|=λ1+···+λ表示分区λ的大小。定义5.1(表格,Schur函数)。形状为λ = λ的半标准杨氏表T|不|是一个整数数组T=(t i,j|1≤i≤λ i,1≤j≤ λ i)满足ti,j···>λ′ 这些数据项列在数据项中,其中appearaspartsofλ′。在这篇文章中,λ′,. . . ,λ′都是不同的-1s在λ的杨氏图中输入柱的高度我们表示为λ=(λ1≥···≥λ),则将其转换为λ′=(λ′,. . . ,λλ′)。对于图1,通过对每个高度的列进行检查,并删除其余的列,可以从λ中删除我们现在可以通过垂直切割将杨氏图λ分解为s个大小为h×( λh− λh+1)的矩形,其中h在λ16Fomin,Grigoriev,Nogneng SchostJ××563λλ′的部分的集合(等价地,该集合是λ的集合的集合)。为了简化符号以便将来的论证,我们表示hj=λ′ andmj=λh−λh+1−1,sothatλgetsdi sectedi noJ J大小为hj×( mj+1)的矩形,其中j=1,.. . ,s.实施例5.4. 设λ=(6,6,4,1,1),λ= 5.然后λ′=( 5,3,3,2,2),λ′=(5,3,2),λ=(3,3,2,1,1),s=3.形状λ可以通过垂直切割分成三个大小分别为5×1、3× 3和2×2的矩形。在本例中,我们有h1= 5,h2 = 3,h3 = 2,m1 = 0,m2 = 2,m3 = 1。定义5.5(表格修剪)。设T是λ形的半标准表。T的剪枝是半标准表T通过对每个高度的最高列进行筛选(并移除该高度的所有列,这是它的一部分)。 我们不可能在一起,。 . . ,作为T恤的一个专栏,左而右环行(这些列的高度为h1,. . . ,hs)。我们不会通过重新移动hj −h j +1 bottom m e n t r i es 来 删 除 h j+1bt a i n e dhighhj+1bt a i n e d ec o lum nned hj。我们进一步用T1表示。. . ,T是半标准的矩形h1m1,. . . 通过定义5.3中描述的垂直切割来分解T,然后从每个结果表格中移除最右边的列,从而获得。(Ifmj=0,则Tj为空)。因此,通过将矩形表格T j与修剪的列交错来获得T:|的1|T2|一个2|···|Ts|as]。实施例5.6. 继续例5.4,设T=Σ Σ1 1 2 2 2 42 2 3 3 3 5四五六。5Σ Σ1 2 4˜2 3 5Σ1ΣΣ Σ Σ Σ2 1 2 22则T=4 656,T1= π,a1=4 ,T2=562 3 ,a2=5 63 ,T3=[],6a 3=[4]。♦♦关于Schur多项式7≤≤˜.考虑给定形状λ的半标准表集T,其中s≤k,且具有给定的形式T∈[a1|···|as]。一旦T和λ固定,每个表Tj,对于1js,可以独立于其他选择,只要它满足以下限制:◦ Tj是一个hj×mj的矩形半标准表,元素≤k,因此它可以看作是偏序集Phj,k中一个大小为mj的重链;◦ Tj中的每一列a(即,这条多链的每个元素)是有限的,这条方程是a<$j−1≤a≤aj,其中p是Phj,k中的偏序。(We设置a<$0= 0=Σ Σ1.按照惯例,ℓ对于j=1是冗余的)。这给出了一组考虑的表格和在偏序集Phj,k中的多链集合的笛卡尔积:半标准T型台形状为λ的矩阵,元素≤k,其中hprni gT=[a1|···|as]←→ Ysj=1多链多线程尺寸mj在Phj中,k[a<$j−1,aj]如果yi ngmulti chai ns在Phj,k[a<$j−1,aj]中有一个矩形的ux,则通过母函数,我们得到如下结果.5.7. 用上面的符号,我们有(5.8)S(x,. . .得双曲余切值.Ys)=xTΣ xTj,哪里λ1kTj=1Tj◦ T=[a1|···|运行一个具有≤ k个条目的、可访问的数据集;◦每个Tj在矩形形状的半标准表格上运行hj× mj是对Phj,k[a<$j−1,aj]中的一个m u lt i c h a in的一个代数。Σ根据引理4.7和引理4.19,xTjap-公式(4.8)中的pearing可以用公式(4.8)计算:18Fomin,Grigoriev,Nogneng Schost∈≤Q∗联系我们∈LEMMA5.9. 设a,b,P,h,k为两列,使得a,b. 然后(5.10)Σ Σ∗xT=xhn(xc1,.. . ,xcN),m −|Q|T Q哪里◦ T在半标准的矩形H× M表格上运行其列在Ph,k[a,b]中形成多重链;◦ Q=[c1|···|c[N]在Ph,k[a,b]中的最大似然性上的运行;◦ Q由公式4.2给出。为了读者注4.17。对于每一对连续列cj和cj+1,我们有cj+1=cj+eij,i j1,. . .,h,其中ei表示其第i个分量等于1,其他都等于0。链/表Q由列cj的子集构成,其中ij−1>ij,而且cj−1+eijPh,k(因此用cj−1+eij代替cj将Q转换为字典上较小的极大链)。第五章. 十一岁 Leth=2,k=5,a=100,b=101,cf. Exam p le4.1 3.则(5.10)变为s(m,m)(x1,. . 、.、x5)=hm(x1x2,x1x3,x2x3,x2x4,x3x4,x3x5,x4x5)+x2x5hm−1(x1x2,x1x3,x2x3,x2x4,x2x5,x3x5,x4x5)+x1x4hm−1(x1x2,x1x3,x1x4,x2x4,x3x4,x3x5,x4x5)+x1x4 ·x2x5hm−2(x1x2,x1x3,x1x4,x2x4,x2x5,x3x5,x4x5)+ x1x5h m−1(x1x2,x1x3,x1x4,x1x5,x2x5,x3x5,x4x5)。 ♦6.主要定理
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