数列求和s=2/1×3+4/3×5……2n/(2n-1)(2n+1)

首先我们观察到每一项都可以写成 $a_n=\frac{2n}{(2n-1)(2n+1)}$ 的形式，于是可以设 $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$，则有：

\begin{aligned} S&=\frac{2}{1\cdot 3}+\frac{4}{3\cdot 5}+\frac{6}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{2n}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots \\ &=\left(\frac{2}{1\cdot 3}-\frac{2}{3\cdot 5}\right)+\left(\frac{4}{3\cdot 5}-\frac{4}{5\cdot 7}\right)+\left(\frac{6}{5\cdot 7}-\frac{6}{7\cdot 9}\right)+\cdots \\ &\quad+\left(\frac{2n}{(2n-1)(2n+1)}-\frac{2(n-1)}{(2n-3)(2n-1)}\right)+\cdots \end{aligned}

注意到上式中每一项都是一个数对之差，可以尝试对其进行一些化简。例如，我们可以将第 $k$ 项的分子分母都乘以 $(k-1)(k+1)$，得到：

$$\frac{2k}{(2k-1)(2k+1)}-\frac{2(k-1)}{(2k-3)(2k-1)}=\frac{4}{(2k-1)(2k+1)}$$

将这个结果代回式子中，得到：

\begin{aligned} S&=\frac{2}{1\cdot 3}-\frac{4}{3\cdot 5}+\frac{4}{3\cdot 5}-\frac{4}{5\cdot 7}+\frac{4}{5\cdot 7}-\frac{4}{7\cdot 9}+\cdots \\ &\quad+\frac{4}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots \\ &=\frac{2}{1\cdot 3}=\frac{1}{3} \end{aligned}

因此，原数列的和为 $\boxed{\frac{1}{3}}$。