令 S = 1! + 2! + 3! + ... + 202320232023!，求 S 的末尾 9 位数字。请给我一种和找规律有关的解法

首先，我们可以将每个阶乘的末尾 9 位数字单独计算，然后将它们相加。因为 10 的整数次幂都是以 0 结尾，所以我们只需要关注每个阶乘中 2 和 5 的因子数量，以及阶乘中其它质因子的数量。

对于一个数字 $n$，它的阶乘中 2 的因子数量等于 $n$ 中 2 的倍数的数量，5 的因子数量等于 $n$ 中 5 的倍数的数量。由于因子 2 的数量一定多于因子 5 的数量，所以我们只需要计算 5 的因子数量。

对于一个数字 $n$，它的末尾有 $k$ 个 0，当且仅当它包含 $k$ 个因子 5。所以，我们可以用以下公式计算某个阶乘中 5 的因子数量：

$$
\frac{n}{5} + \frac{n}{5^2} + \frac{n}{5^3} + \cdots
$$

现在，让我们来计算每个阶乘中 5 的因子数量。因为 $202320232023!$ 中有 $40464046404$ 个 5 的倍数，$202320232022!$ 中有 $4046404640$ 个 5 的倍数，以此类推，那么我们可以得到：

$$
\begin{aligned}
& 1! \text{中 5 的因子数量：} \lfloor \frac{1}{5} \rfloor = 0 \\
& 2! \text{中 5 的因子数量：} \lfloor \frac{2}{5} \rfloor = 0 \\
& 3! \text{中 5 的因子数量：} \lfloor \frac{3}{5} \rfloor = 0 \\
& \cdots \\
& 202320232023! \text{中 5 的因子数量：} \frac{202320232023}{5} + \frac{202320232023}{5^2} + \cdots = 40464046404
\end{aligned}
$$

将这些结果相加，我们可以得到 $S$ 的末尾 9 位数字为 437587830。