证明$(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n$
时间: 2023-11-23 11:14:52 浏览: 177
我们可以通过以下步骤证明$(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n$:
首先,我们将$(I-A)^{-1}$乘以$(I-A)$,得到:
$$(I-A)^{-1}(I-A)=I$$
展开得:
$$(I-A)^{-1}-A(I-A)^{-1}=I$$
移项得:
$$(I-A)^{-1}=I+A(I-A)^{-1}$$
我们可以继续将$(I-A)^{-1}$代入公式右侧的$A(I-A)^{-1}$,得到:
$$(I-A)^{-1}=I+A(I-A)^{-1}=I+A(I+A(I-A)^{-1})=(I+A+A^2(I-A)^{-1})$$
以此类推,最终可以得到:
$$(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n$$
因此,$(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n$得证。
相关问题
\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \frac{i^{n} }{|n|!}=()
这是一个级数求和的问题,我们可以将其拆分成两个部分来考虑。
首先,当 $n$ 为偶数时,$i^n$ 等于 $1$,因此:
$$
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{i^{2n}}{|2n|!} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n)!} = \cosh(1)
$$
其中 $\cosh(x)$ 表示双曲余弦函数。
接下来考虑当 $n$ 为奇数时,$i^n$ 等于 $i$ 或 $-i$,具体取决于 $n$ 的正负性。因此:
\begin{aligned}
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{i^{2n+1}}{|2n+1|!} &= \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{i^{2n+1}}{|2n+1|!} + \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{2n+1}}{|2n+1|!} \\
&= -i\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)!} + i\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)!} \\
&= i\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)!} - \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)!}\right) \\
&= i\left(\sinh(1) - \cosh(1)\right)
\end{aligned}
其中 $\sinh(x)$ 表示双曲正弦函数。
因此,将以上两部分相加,得到:
$$
\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \frac{i^{n} }{|n|!} = \cosh(1) + i\left(\sinh(1) - \cosh(1)\right) = \sinh(1) + \cosh(1)i
$$
这就是该级数的和。
设\frac{1}{1+z^{2} } =\sum_{ n=-\infty }^{+\infty} C_{n}z^{n},|z|>1 ,则C_{0} 的值为
我们可以使用留数定理来计算 $C_0$ 的值。首先,根据题目中的条件 $|z|>1$,我们可以将分母写成 $\frac{1}{z^2(1+\frac{1}{z^2})}$。然后令 $w=\frac{1}{z^2}$,则原式变为:
$$\frac{1}{1+z^2}=\frac{w}{1+\frac{1}{w}}=\frac{w}{\frac{w+1}{w}}=w(1+w)^{-1}$$
现在我们需要计算 $w(1+w)^{-1}$ 的 Laurent 级数。注意到 $(1+w)^{-1}$ 的幂级数展开式为:
$$(1+w)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nw^n$$
因此,$w(1+w)^{-1}$ 的 Laurent 级数为:
$$w(1+w)^{-1}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n z^{-2n-1}$$
$C_0$ 的系数即为 $z^0$ 的系数,也就是 $n=-\frac{1}{2}$ 时的系数,即:
$$C_0=(-1)^{-\frac{1}{2}} z^{\frac{1}{2}}=-i\sqrt{z}$$
因此,$C_0$ 的值为 $-i\sqrt{z}$。
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