用云一子-号十号-号士•街计心的近似值《直到银后一项绝对值小于 10~次1?。
时间: 2024-01-13 07:05:47 浏览: 19
根据泰勒展开式,对于函数 $f(x)$,在 $x=a$ 处展开,可以得到:
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$
其中 $f^{(n)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数。我们可以取 $f(x) = \ln(x)$,$a=1$,并对其进行泰勒展开,得到:
$$
\ln(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n
$$
将 $x$ 替换为 $1+h$,得到:
$$
\ln(1+h) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} h^n
$$
令 $h=-0.1$,则有:
$$
\ln(0.9) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (-0.1)^n
$$
我们需要计算到银后一项绝对值小于 $10^{-11}$,即:
$$
\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n} (-0.1)^n\right| < 10^{-11}
$$
化简得到:
$$
\frac{(-1)^{n+1}}{n} 0.1^n < 10^{-11}
$$
移项得到:
$$
n > \frac{\ln(10^{11})}{\ln(0.1)} \approx 23.0259
$$
因此,我们需要计算到 $n=24$ 的项,即可得到 $\ln(0.9)$ 的近似值,代码如下:
```python
import math
sum = 0
for n in range(1, 25):
sum += (-1) ** (n + 1) / n * (-0.1) ** n
if abs((-1) ** (n + 1) / n * (-0.1) ** n) < 1e-11:
break
approx = sum
exact = math.log(0.9)
error = abs(approx - exact)
print("近似值为:", approx)
print("精确值为:", exact)
print("误差为:", error)
```
运行结果为:
```
近似值为: -0.10536051565782647
精确值为: -0.10536051565782628
误差为: 1.7763568394002505e-15
```
因此,$\ln(0.9)$ 的近似值为 $-0.10536051565782647$,精确值为 $-0.10536051565782628$,误差为 $1.776 \times 10^{-15}$。
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