如何用定义证明级数sin(nπ/6)发散,给出具体过程
时间: 2024-02-26 09:53:37 浏览: 39
我们知道,当级数的通项不趋于零时,级数必定发散。因此,我们只需要证明当n为正整数时,sin(nπ/6)的绝对值不趋于零,即可证明级数sin(nπ/6)发散。
根据sin(x)的定义式,我们有:
sin(nπ/6) = nπ/6 - (nπ/6)^3/3! + (nπ/6)^5/5! - ...
我们需要证明当n为正整数时,sin(nπ/6)的绝对值不趋于零,即:
|sin(nπ/6)| = |nπ/6 - (nπ/6)^3/3! + (nπ/6)^5/5! - ...| ≠ 0,其中“≠”表示不等于。
由于nπ/6是π/6的倍数,因此可以写成nπ/6 = kπ,其中k是整数。代入上式,得到:
|sin(nπ/6)| = |kπ - (kπ)^3/3! + (kπ)^5/5! - ...|
对于任何正整数k,上式右侧的绝对值都不等于零,因为级数的通项为一个无限级数,其绝对值不趋于零。因此,sin(nπ/6)的绝对值不趋于零,级数sin(nπ/6)发散。
因此,我们证明了级数sin(nπ/6)发散。
相关问题
证明调和级数1+1/2+1/3+…+1/n发散
我们可以使用比较判别法来证明调和级数发散。具体来说,我们可以将调和级数与一个更容易处理的级数比较,如果容易处理的级数发散,那么调和级数也一定发散。
考虑级数1+1/2+1/3+…+1/n和级数1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+…+1/2^n。
这两个级数的前n项分别为:
1+1/2+1/3+…+1/n 和 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+…+1/2^n
注意到第二个级数的n项恰好是第一个级数的2n项,因此我们有:
1+1/2+1/3+…+1/n < 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+…+1/2^n
对于任意正整数k,都有2^k个分母为2^k的项,每个项的值都为1/2^k。因此,第二个级数的前n项可以写成:
1+1/2+1/4+1/8+…+1/2^n > k/2
因此,我们有:
1+1/2+1/3+…+1/n > k/2
由于k可以任意大,这意味着调和级数发散。
求幂级数nx^(n-1)的和函数并给出解题过程
我们首先要求出nx^(n-1)的幂级数表示。根据幂级数的定义,我们有:
nx^(n-1) = n(x^n)' = n(d/dx)(x^n)
因此,nx^(n-1)的幂级数表示为:
∑(n>=0) [n(d/dx)(x^n)] = ∑(n>=0) [n^2x^(n-1)]
现在我们需要求出这个幂级数的和函数。为此,我们考虑对幂级数求一次积分:
∫[∑(n>=0) n^2x^(n-1)]dx = ∑(n>=0) n^2 * ∫(x^(n-1))dx
∫(x^(n-1))dx = 1/n * x^n + C
其中C为常数。因此,我们有:
∫[∑(n>=0) n^2x^(n-1)]dx = ∑(n>=0) n^2 * [1/n * x^n + C]
= ∑(n>=1) nx^n + C
因此,幂级数nx^(n-1)的和函数为:
f(x) = ∑(n>=1) nx^n + C
其中C为常数,由初值条件所确定。