堆排序算法的变种：深入剖析堆排序的衍生版本，解锁算法多样性

# 1. 堆排序算法概述

堆排序是一种基于堆数据结构的排序算法，它通过将输入数据构建成一个最大堆或最小堆，然后依次从堆顶弹出最大或最小元素，从而实现排序。

堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点的值。在最大堆中，根节点的值最大，而在最小堆中，根节点的值最小。堆排序算法利用堆的这一性质，通过调整堆的结构来实现排序。

# 2. 堆排序的变种

堆排序是一种高效的排序算法，其变种包括最小堆排序、最大堆排序和二叉堆排序。这些变种具有不同的特性和应用场景。

### 2.1 最小堆排序

#### 2.1.1 最小堆的构建和维护

最小堆是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都小于或等于其子节点的值。最小堆的构建和维护涉及以下步骤：

1. **初始化：**创建一个空堆。
2. **插入：**将新元素插入堆中。从根节点开始，将元素与子节点比较，如果元素小于子节点，则交换元素和子节点。重复此过程，直到元素到达其正确位置。
3. **删除：**从堆中删除根节点。将最后一个元素移动到根节点，然后从根节点开始，与子节点比较并交换，直到元素到达其正确位置。

#### 2.1.2 最小堆排序的实现

基于最小堆的排序算法称为最小堆排序。其实现步骤如下：

1. **构建最小堆：**将输入数据构建成一个最小堆。
2. **删除根节点：**从堆中删除根节点，并将最小值存储在数组中。
3. **更新堆：**将最后一个元素移动到根节点，然后重新调整堆以维护最小堆性质。
4. **重复步骤 2 和 3：**重复步骤 2 和 3，直到堆为空。

def min_heap_sort(arr):
    """
    最小堆排序算法

    参数：
        arr: 输入数组

    返回：
        排序后的数组
    """

    # 构建最小堆
    for i in range(len(arr) // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, i, len(arr))

    # 删除根节点并更新堆
    for i in range(len(arr) - 1, 0, -1):
        arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
        heapify(arr, 0, i)

    return arr

def heapify(arr, i, n):
    """
    维护最小堆性质

    参数：
        arr: 输入数组
        i: 根节点索引
        n: 堆大小
    """

    smallest = i
    left = 2 * i + 1
    right = 2 * i + 2

    # 找到最小值
    if left < n and arr[left] < arr[smallest]:
        smallest = left

    if right < n and arr[right] < arr[smallest]:
        smallest = right

    # 交换最小值和根节点
    if smallest != i:
        arr[i], arr[smallest] = arr[smallest], arr[i]
        heapify(arr, smallest, n)

### 2.2 最大堆排序

#### 2.2.1 最大堆的构建和维护

最大堆与最小堆类似，但每个节点的值都大于或等于其子节点的值。最大堆的构建和维护步骤如下：

1. **初始化：**创建一个空堆。
2. **插入：**将新元素插入堆中。从根节点开始，将元素与子节点比较，如果元素大于子节点，则交换元素和子节点。重复此过程，直到元素到达其正确位置。
3. **删除：**从堆中删除根节点。将最后一个元素移动到根节点，然后从根节点开始，与子节点比较并交换，直到元素到达其正确位置。

#### 2.2.2 最大堆排序的实现

基于最大堆的排序算法称为最大堆排序。其实现步骤与最小堆排序类似，但比较和交换操作相反。

def max_heap_sort(arr):
    """
    最大堆排序算法

    参数：
        arr: 输入数组

    返回：
        排序后的数组
    """

    # 构建最大堆
    for i in range(len(arr) // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, i, len(arr))

    # 删除根节点并更新堆
    for i in range(len(arr) - 1, 0, -1):
        arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
        heapify(arr, 0, i)

    return arr

def heapify(arr, i, n):
    """
    维护最大堆性质

    参数：
        arr: 输入数组
        i: 根节点索引
        n: 堆大小
    """

    largest = i
    left = 2 * i + 1
    right = 2 * i + 2

    # 找到最大值
    if left < n and arr[left] > arr[largest]:
        largest = left

    if right < n and arr[right] > arr[largest]:
        largest = right

    # 交换最大值和根节点
    if largest != i:
        arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
        heapify(arr, largest, n)

### 2.3 二叉堆排序

#### 2.3.1 二叉堆的性质和构建

二叉堆是一种特殊的完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点的值。二叉堆的性质如下：

- 每个节点都有最多两个子节点。
- 每个节点的值都大于或等于其子节点的值。
- 树的深度为 log(n)，其中 n 是树中的节点数。

二叉堆的构建方法有两种：

- **自上而下：**从根节点开始，逐层比较和交换节点，直到满足二叉堆性质。
- **自下而上：**从最后一个非叶子节点开始，逐层调整子树，直到满足二叉堆性质。

#### 2.3.2 二叉堆排序的实现

基于二叉堆的排序算法称为二叉堆排序。其实现步骤与最小堆排序和最大堆排序类似，但比较和交换操作有所不同。

def binary_heap_sort(arr):
    """
    二叉堆排序算法

    参数：
        arr: 输入数组

    返回：
        排序后的数组
    """

    # 构建二叉堆
    for i in range(len(arr) // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, i, len(arr))

    # 删除根节点并更新堆
    for i in range(len(a