lim(x趋近于无穷)(1+1/x)^3x 的值为多少(先说值后说分析)
时间: 2023-02-10 20:51:44 浏览: 180
lim(x趋近于无穷)(1 1/x)^3x 的值为 1。
分析:
当 x 趋近于无穷时,1/x 趋近于 0。所以(1 1/x)趋近于 1。
所以 lim(x趋近于无穷)(1 1/x)^3x = lim(x趋近于无穷)(1)^3x = 1^3x = 1。
相关问题
证明x,y趋近于0(1+xy)^(1/x+y)的极限不存在
要证明极限不存在,我们可以采用反证法。
假设当x和y趋近于0时,极限存在,记该极限为L。那么对于任意给定的ε>0,存在δ>0,使得当0< |x| < δ且 0< |y| < δ 时,有
| (1+xy)^(1/(x+y)) - L | < ε
我们取x= y = 1/n(n是正整数),那么当n趋近于无穷大时,x和y都趋近于0。由于极限存在,所以对于上式中的δ,存在一个正整数N,使得当n>N时,有
| (1+1/n^2)^(n/(2/n)) - L | < ε
即
| (1+1/n^2)^(n/2) - L | < ε
我们令x_n = (1+1/n^2)^(n/2),那么x_n的极限是e^(1/2),即
lim (n->∞) (1+1/n^2)^(n/2) = e^(1/2)
因此,我们可以找到一个子序列{x_n}满足
lim (n->∞) x_n = e^(1/2) ≠ L
这与假设的极限存在矛盾,因此我们得证,当x和y趋近于0时,(1+xy)^(1/(x+y))的极限不存在。
函数为lim(1+x)^(1/x) ,求x 在0的右极限
首先,我们可以将原函数写成 $f(x) = \lim_{n \to \infty} (1+x)^{1/x}$ 的形式,其中 $n$ 是一个无穷大的自然数。然后,我们可以用连续复合函数的极限定理来求解这个极限。
具体来说,我们可以将 $(1+x)^{1/x}$ 写成 $e^{(\ln(1+x)/x)}$ 的形式,然后再将 $\ln(1+x)/x$ 写成 $\ln(1+x) / \operatorname{sinh}^{-1}(x)$ 的形式。这是因为当 $x$ 趋近于 $0$ 时,$\operatorname{sinh}^{-1}(x)$ 的极限为 $0$,而 $\ln(1+x)/x$ 的极限可以用洛必达法则求得为 $1$。
因此,我们有
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} \lim_{n\to\infty} (1+x)^{1/x} \\
&= \lim_{n\to\infty} \lim_{x\to 0^+} (1+x)^{1/x} \\
&= \lim_{n\to\infty} e^{\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x}} \\
&= e^{\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x}} \\
&= e^1 \\
&= \boxed{e}.
\end{aligned}
$$
因此,函数 $\lim_{x\to 0^+} (1+x)^{1/x}$ 的右极限为 $e$。