ln(1+x^2)d(1+x^2)的积分

### 回答1：
我们可以使用变量代换法来求解这个积分。

令u=1+x^2，则du/dx=2x，dx=du/2x。

将dx用u和du表示，原积分就变为 ∫lnudu/2。接下来，我们可以使用分部积分法，将lnu拆分为两个因子，如下所示：

∫lnudu/2 = (u*lnu/2) - ∫(u/2)*(1/u)du

化简得：

∫lnudu/2 = (u*lnu/2) - u/2 + C

将u代回原变量，得到最终结果：

∫ln(1+x^2)d(1+x^2) = [(1+x^2)*ln(1+x^2)]/2 - (1+x^2)/2 + C

其中C为常数。

### 回答2：
要计算 ln(1 + x^2) d(x^2) 的积分，首先我们需要将被积函数进行展开：

ln(1 + x^2) d(x^2) = ln(1 + x^2) * 2x dx

然后，我们可以进行替换，令 u = 1 + x^2，du = 2x dx。这样，被积函数可以进一步化简为：

1/2 * ln(u) du

接下来，我们可以对上述等式进行积分。对于 ln(u) 的积分，可以使用部分积分法：

∫ ln(u) du = u ln(u) - ∫ u * (1/u) du
= u ln(u) - ∫ du
= u ln(u) - u + C

其中，C 是积分常数。将 u 代回原来的变量，则得到最终结果：

1/2 * (1 + x^2) ln(1 + x^2) - 1/2 * (1 + x^2) + C

因此，ln(1 + x^2) d(x^2) 的积分结果为 1/2 * (1 + x^2) ln(1 + x^2) - 1/2 * (1 + x^2) + C。

### 回答3：
要计算 ln(1 x^2)d(1 x^2) 的积分。首先，我们需要进行分部积分。

设 u = ln(1 x^2) 和 dv = d(1 x^2)。
根据分部积分公式，du = (1 / (1 x^2)) (2 x) dx 和 v = x^2。

根据分部积分公式，积分可以表示为：

∫ ln(1 x^2)d(1 x^2) = u v - ∫ v du

将 u 和 v 的值代入上述表达式：

∫ ln(1 x^2)d(1 x^2) = ln(1 x^2) x^2 - ∫ x^2 (1 / (1 x^2)) (2 x) dx

化简得：

∫ ln(1 x^2)d(1 x^2) = x^2 ln(1 x^2) - ∫ 2x dx
= x^2 ln(1 x^2) - x^2 + C

其中 C 是积分常数。所以，ln(1 x^2)d(1 x^2) 的积分结果为 x^2 ln(1 x^2) - x^2 + C。