计算$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{0}^{+\infty}\exp\{-\frac{\lambda\mu^2c}{2}\}d\lambda d\mu$,其中$\lambda>0,-\infty<\mu<+\infty,c$为常数
时间: 2023-07-28 09:11:26 浏览: 56
要计算这个积分,我们可以采用变量替换的方法。首先,我们将积分区域进行变换,令$u = \frac{\lambda\mu^2c}{2}$和$v = \mu$。然后计算雅可比行列式,得到$|\frac{\partial(\lambda,\mu)}{\partial(u,v)}| = |\frac{1}{\mu}|$。
接下来,我们将原积分转化为新的变量积分:
$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{0}^{+\infty}\exp\{-\frac{\lambda\mu^2c}{2}\}d\lambda d\mu = \int\limits_{0}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(-u)\cdot|\frac{1}{\mu}|dudv
$$
然后,我们交换积分的顺序,先对$u$进行积分,再对$v$进行积分:
$$
\int\limits_{0}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(-u)\cdot|\frac{1}{\mu}|dudv = \int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-u)\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|\mu|}dvdu
$$
接下来,对$v$进行积分,由于$\mu$的取值范围是$-\infty<\mu<+\infty$,所以积分结果为$2$:
$$
\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-u)\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|\mu|}dvdu = 2\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-u)du
$$
再对$u$进行积分,由于$\exp(-u)$的积分是收敛的,所以积分结果为$1$:
$$
2\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-u)du = 2\times 1 = 2
$$
因此,原积分的结果为$2$。