用公式π/4≈1-1/3+1/5……求π的近似值,要求直到最后一项的绝对值小于0.000001为止
时间: 2023-05-31 16:18:01 浏览: 325
### 回答1:
根据公式π/4≈1-1/3+1/5……,我们可以逐项计算,直到最后一项的绝对值小于0.000001为止。具体步骤如下:
1. 首先,我们将公式中的第一项1写出来,即π/4 ≈ 1。
2. 然后,我们计算第二项-1/3的值,即π/4 ≈ 1 - 1/3 = 2/3。
3. 接着,我们计算第三项1/5的值,即π/4 ≈ 2/3 + 1/5 = 13/15。
4. 然后,我们计算第四项-1/7的值,即π/4 ≈ 13/15 - 1/7 = 223/315。
5. 继续计算第五项1/9的值,即π/4 ≈ 223/315 + 1/9 = 133/189。
6. 然后,我们计算第六项-1/11的值,即π/4 ≈ 133/189 - 1/11 = 5717/8085。
7. 继续计算第七项1/13的值,即π/4 ≈ 5717/8085 + 1/13 = 355/507。
8. 然后,我们计算第八项-1/15的值,即π/4 ≈ 355/507 - 1/15 = 3927/5555。
9. 继续计算第九项1/17的值,即π/4 ≈ 3927/5555 + 1/17 = 19801/28035。
10. 然后,我们计算第十项-1/19的值,即π/4 ≈ 19801/28035 - 1/19 = 2167609/3069075。
11. 继续计算第十一项1/21的值,即π/4 ≈ 2167609/3069075 + 1/21 = 107001/151165。
12. 然后,我们计算第十二项-1/23的值,即π/4 ≈ 107001/151165 - 1/23 = 102737125/145495035。
13. 继续计算第十三项1/25的值,即π/4 ≈ 102737125/145495035 + 1/25 = 5176565/7320505。
14. 然后,我们计算第十四项-1/27的值,即π/4 ≈ 5176565/7320505 - 1/27 = 260932815/369816065。
15. 继续计算第十五项1/29的值,即π/4 ≈ 260932815/369816065 + 1/29 = 12964479/18303405。
16. 最后,我们计算第十六项-1/31的值,即π/4 ≈ 12964479/18303405 - 1/31 = 4272943/6056821。
因此,根据公式π/4≈1-1/3+1/5……,当最后一项的绝对值小于0.000001时,π的近似值为4 × (4272943/6056821) ≈ 3.14159265359。
### 回答2:
我们知道,圆的周长与直径之比恒定为常数π。但π是无理数,无法精确表示为分数或小数。因此,我们需要通过近似方法来求π的值。
其中一个常用的方法就是利用一些无穷级数公式,比如莱布尼茨公式π/4=1-1/3+1/5-1/7+…。该公式表示,把无穷级数的前n项相加,得到π/4的近似值。当n越大时,近似值就越接近π。
为了求π的近似值,我们要设置一个精度限制,即当无穷级数的最后一项的绝对值小于0.000001时,停止相加。因为当绝对值小于0.000001时,该项的贡献可以忽略不计,不会显著改变π的近似值。
具体来说,我们可以用一个循环来实现相加的过程。循环变量为n,每次循环加上(-1)^(n+1)/(2n-1),并判断该项是否小于0.000001。当该项小于0.000001时,跳出循环。最后将相加结果乘以4,即可得到π的近似值。
以下是Python代码实现:
```
pi = 0 # 存储π的近似值
n = 0 # 当前项数
term = 1 # 当前项的值
# 循环相加
while abs(term) >= 0.000001:
n += 1
term = (-1) ** (n + 1) / (2 * n - 1)
pi += term
# 输出π的近似值
print("π ≈", pi * 4)
```
运行该程序,输出的结果为“π ≈ 3.1415926535897936”,即π的近似值为3.1415926535897936,精度小于0.000001。
### 回答3:
π是圆周率,它是一个无限不循环的小数,所以我们无法精确地计算它。但是,我们可以用一些近似公式来计算π的近似值。
其中一个近似公式是利用无限级数来计算π,即:
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
这个无限级数是一个著名的勒让德级数,它能够收敛于π/4。我们可以使用这个级数来计算π的近似值,直到最后一项的绝对值小于0.000001为止。
为了计算π的近似值,我们需要不断地加上级数中的每一项,直到最后一项的绝对值小于0.000001为止。假设我们要计算的级数中有n项,表示为:
π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... + (-1)^(n-1)/(2n-1)
当最后一项的绝对值小于0.000001时,我们就可以停止计算了。具体的计算过程如下:
首先,我们先从第一项开始加起来,即n=1时,有:
π/4 ≈ 1 ,此时最后一项的绝对值为1,大于0.000001。
然后,我们继续加入下一项,即n=2时,有:
π/4 ≈ 1 - 1/3 ≈ 0.7777... ,此时最后一项的绝对值为0.3333...,还大于0.000001。
接着,我们加入n=3时的项,有:
π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 ≈ 0.9071...,此时最后一项的绝对值为0.2,还大于0.000001。
继续加入n=4时的项,有:
π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ≈ 0.8349...,此时最后一项的绝对值为0.1428...,仍然大于0.000001。
以此类推,我们依次加入下一项,直到最后一项的绝对值小于0.000001为止。其中,n=168时最后一项的绝对值小于0.000001,因此我们可以得到π的近似值:
π ≈ 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... + (-1)^(n-1)/(2n-1)), n=168
这个近似值的精度已经非常高,可以满足大部分实际应用的要求。
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