∫(1+t^3)^1/2 dt

We can use the substitution u = t^3 to simplify the integral:

du/dt = 3t^2
dt = du/(3t^2)

Substituting these into the original integral, we get:

∫(1 t^3)^1/2 dt = ∫(1 u)^1/2 du/(3t^2)
= (1/3) ∫u^1/2 du
= (2/3) u^(3/2) + C
= (2/3) t^3/2 + C

Therefore, the solution to the integral is (2/3) t^3/2 + C.

相关问题

[(1+4x^2)^1/2]dx

### 回答1：
这是一个求不定积分的问题。可以使用代换法解决。

令 u = 1 + 4x^2，那么 du/dx = 8x，dx = du/8x。

将其代入原式得到：

∫[(1+4x^2)^1/2]dx = ∫(u^1/2)(1/8x)du

再将 u = t^2，那么 du/dt = 2t，将其代入得到：

∫(u^1/2)(1/8x)du = (1/8)∫t^2(1/t)2t dt

化简得到：

(1/8)∫t^3 dt = (1/32)t^4

将 t = (1+4x^2)^1/2 代入得到最终答案：

(1/32)(1+4x^2)^2 + C

其中 C 为常数。

### 回答2：
首先，我们可以使用数学公式来简化表达式：

(1 + 4x^2)^1/2 = √(1 + 4x^2)

现在，我们可以开始求解：

我们可以使用换元法来求解该积分。令 u = 1 + 4x^2，那么我们有 du = 8x dx，从而 dx = du / (8x)。

将这个换元代入到原始积分中，我们得到：

∫[(1 + 4x^2)^1/2]dx = ∫√(1 + 4x^2) dx
= ∫√u (du / (8x))

接下来，我们需要将被积函数转化为关于 u 的函数，可以得到：

√u = √(1 + 4x^2) = √(1 + (2x)^2) = √(1 + (2x)^2)/(2x) * 2x

继续代入，我们得到：

∫√u (du / (8x)) = 1/4 * ∫ √(1 + (2x)^2)/(2x) * 2x du

化简后得到：

1/4 * ∫ √u du

现在我们可以直接求解这个积分了。利用幂函数积分公式，我们得到：

1/4 * ∫ √u du = 1/4 * (2/3) * u^3/2 + C = 1/6 * u^3/2 + C

最后，将 u 代回到原来的变量 x 中，我们得到最终的解答：

∫[(1 + 4x^2)^1/2]dx = 1/6 * (1 + 4x^2)^3/2 + C

其中，C 为常数项。

### 回答3：
题目给出的表达式为[(1 4x^2)^1/2]dx。解读该表达式，可以拆解为两部分进行理解：(1)根号下的部分[(1 4x^2)^1/2]，(2)后面的dx。

首先，我们来看根号下的部分[(1 4x^2)^1/2]，这是一个复合函数。首先，内层的函数是4x^2，接着外层的函数是取平方根。这两个函数嵌套在一起，就成为一个复合函数。4x^2代表的是一个二次函数，而取平方根的函数则表示要求另外一个函数的平方根。所以整个根号部分表示求一个函数的平方根。这个函数是4x^2，也就是4与x之间的乘法关系，并且经过一次平方再开方的运算。

接下来，我们来看后面的dx。dx是微积分中的微分符号，表示对变量x进行微分。微分是微积分的基本操作之一，表示对函数进行微小的变化量的研究。

所以，综上所述，题目中的表达式[(1 4x^2)^1/2]dx表示要对一个函数进行平方根运算再求微分的运算。

(sinx ^3+cox ^3)/1的积分

这个积分可以通过换元来求解。我们可以将分子进行因式分解，得到：

sin^3(x) + cos^3(x) = (sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x))

由于sin^2(x) + cos^2(x) = 1，因此：

sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1 - sin(x)cos(x)

将上面的式子代入原式，得到：

∫(sin^3(x) + cos^3(x))/1 dx = ∫(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x)) dx

我们可以将sin(x) + cos(x)表示成根号2的形式，即：

sin(x) + cos(x) = √2(sin(x + π/4))

令t = sin(x + π/4)，则：

dt/dx = cos(x + π/4) = (cos(x) - sin(x))/√2

那么，原式可以变为：

∫(sin^3(x) + cos^3(x))/1 dx = √2∫t(1 - t^2) dx

对右侧的积分进行求解，得到：

∫t(1 - t^2) dx = ∫(t - t^3) dx = 1/2 t^2 - 1/4 t^4 + C

将t代回，得到：

∫(sin^3(x) + cos^3(x))/1 dx = √2 (1/2 sin^2(x+π/4) - 1/4 sin^4(x+π/4)) + C'

其中，C'为常数。这就是原式的解。