【基础】基础统计学:概率论基础
发布时间: 2024-06-26 12:19:17 阅读量: 6 订阅数: 26 ![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/col_vip.0fdee7e1.png)
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# 2.1 概率空间与事件
### 2.1.1 概率空间的定义与性质
**定义:**概率空间是一个三元组 `(Ω, F, P)`,其中:
- `Ω` 是样本空间,包含所有可能的结果。
- `F` 是 σ-代数,是 `Ω` 的子集集合,满足闭合、可数并和可数交运算。
- `P` 是概率测度,是 `F` 上的函数,将事件映射到 [0, 1] 区间,满足以下性质:
- **非负性:**对于任何事件 `A ∈ F`,`P(A) ≥ 0`。
- **归一化:**样本空间的概率为 1,即 `P(Ω) = 1`。
- **可加性:**对于事件序列 `A₁, A₂, ..., Aₙ ∈ F`,`P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₙ)`。
### 2.1.2 事件的定义与运算
**定义:**事件是样本空间 `Ω` 的子集,表示可能发生的结果集合。
**事件运算:**
- **并集:**`A ∪ B` 表示事件 `A` 或 `B` 发生的事件。
- **交集:**`A ∩ B` 表示事件 `A` 和 `B` 同时发生的事件。
- **补集:**`Aᶜ` 表示事件 `A` 不发生的事件。
- **差集:**`A - B` 表示事件 `A` 发生但 `B` 不发生的事件。
# 2. 概率论基础理论
### 2.1 概率空间与事件
#### 2.1.1 概率空间的定义与性质
概率空间是一个三元组 `(Ω, F, P)`,其中:
- `Ω` 是样本空间,包含所有可能的结果。
- `F` 是 σ-代数,是 `Ω` 的子集的集合,满足以下性质:
- `F` 包含空集和 `Ω`。
- `F` 对可数个子集的并集和交集封闭。
- `F` 对子集的补集封闭。
- `P` 是概率度量,将 `F` 中的事件映射到 [0, 1] 区间。
概率度量 `P` 满足以下性质:
- `P(Ω) = 1`:样本空间的概率为 1。
- `P(E) ≥ 0`:任何事件的概率非负。
- 可加性:对于 `F` 中的事件序列 `{E_i}`,有 `P(∪E_i) = ∑P(E_i)`。
#### 2.1.2 事件的定义与运算
事件是样本空间 `Ω` 的子集。事件的运算包括:
- **并集**:`E ∪ F` 是包含 `E` 和 `F` 中所有元素的事件。
- **交集**:`E ∩ F` 是同时属于 `E` 和 `F` 的所有元素的事件。
- **补集**:`E^C` 是不属于 `E` 的所有元素的事件。
### 2.2 随机变量与概率分布
#### 2.2.1 随机变量的定义与类型
随机变量是将样本空间 `Ω` 映射到实数的函数 `X`。随机变量可以是离散型或连续型。
- **离散型随机变量**:取值有限或可数无限的
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