【进阶】时间序列分析：ARIMA模型

# 2.1 时间序列的平稳性检验

时间序列的平稳性检验是ARIMA模型建模的关键步骤。平稳性是指时间序列的统计特性在时间上保持相对稳定，即均值、方差和自相关系数等统计量不会随时间发生显著变化。

### 平稳性检验方法

常用的平稳性检验方法包括：

- **ADF检验：**基于单位根检验，检验时间序列是否存在单位根，即是否存在非平稳性。
- **KPSS检验：**基于平稳性检验，检验时间序列是否存在平稳性。
- **白噪声检验：**检验时间序列是否为白噪声，即是否完全随机。

### 平稳性检验步骤

平稳性检验的步骤如下：

1. 绘制时间序列图，观察序列是否存在明显趋势或季节性。
2. 进行ADF检验或KPSS检验，确定时间序列是否存在单位根或平稳性。
3. 如果序列不平稳，则需要进行差分处理，直到序列平稳为止。

# 2. ARIMA模型理论基础

### 2.1 时间序列的平稳性检验

**平稳性**是时间序列分析的基础，它要求时间序列在均值、方差和自相关系数方面都保持稳定。平稳性检验对于ARIMA模型的建立和预测至关重要。

**检验方法：**

- **ADF检验：**检验时间序列是否存在单位根，即序列是否平稳。
- **KPSS检验：**检验时间序列是否存在趋势或季节性，即序列是否平稳。

**检验步骤：**

1. **作图：**绘制时间序列图，观察是否存在趋势或季节性。
2. **ADF检验：**使用ADF检验检验时间序列是否存在单位根。
3. **KPSS检验：**使用KPSS检验检验时间序列是否存在趋势或季节性。

**代码块：**

# 导入必要的库
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss

# ADF检验
def adf_test(timeseries):
    print("ADF检验结果：")
    result = adfuller(timeseries)
    print("ADF统计量：", result[0])
    print("p值：", result[1])
    print("临界值：", result[4])
    if result[1] < 0.05:
        print("时间序列平稳")
    else:
        print("时间序列不平稳")

# KPSS检验
def kpss_test(timeseries):
    print("KPSS检验结果：")
    result = kpss(timeseries)
    print("KPSS统计量：", result[0])
    print("p值：", result[1])
    print("临界值：", result[3])
    if result[1] < 0.05:
        print("时间序列存在趋势或季节性")
    else:
        print("时间序列不存在趋势或季节性")

### 2.2 ARIMA模型的数学原理

**ARIMA模型**（自回归积分移动平均模型）是一种经典的时间序列模型，它由三个部分组成：

- **自回归（AR）：**表示时间序列的当前值与过去的值之间的线性关系。
- **积分（I）：**表示时间序列需要差分几次才能达到平稳。
- **移动平均（MA）：**表示时间序列的当前值与过去误差项之间的线性关系。

**ARIMA模型的一般形式：**

ARIMA(p, d, q)

其中：

- p：自回归阶数
- d：差分阶数
- q：移动平均阶数

**参数估计：**

ARIMA模型的参数可以通过极大似然估计（MLE）或贝叶斯估计来估计。

### 2.3 ARIMA模型的参数估计

**极大似然估计（MLE）：**

MLE是估计ARIMA模型参数最常用的方法。它通过最小化似然函数来寻找最优参数值。

**贝叶斯估计：**

贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法。它通过对参数的后验分布进行采