【进阶】Scikit-Learn：逻辑回归算法详解

# 1. 逻辑回归算法简介**

逻辑回归是一种广为人知的机器学习算法，用于解决二分类问题。它将输入特征映射到一个概率分布，表示属于某个类别的可能性。与线性回归不同，逻辑回归使用非线性函数（称为sigmoid函数）将输入转换为概率值。这种非线性变换使逻辑回归能够对二分类问题进行建模，其中输出仅限于两个离散值（例如，0 和 1）。

# 2. 逻辑回归算法原理

### 2.1 逻辑函数与sigmoid函数

逻辑回归算法的核心是逻辑函数（Logistic Function），也称为sigmoid函数。sigmoid函数是一种非线性函数，其数学表达式为：

f(x) = 1 / (1 + e^(-x))

sigmoid函数的图像如下：

[Image of sigmoid function graph]

sigmoid函数的取值范围为(0, 1)，当x趋于正无穷时，f(x)趋于1；当x趋于负无穷时，f(x)趋于0。

### 2.2 逻辑回归模型的数学推导

#### 2.2.1 最大似然估计

逻辑回归模型假设数据服从伯努利分布，即只有两种可能的结果（0或1）。给定一组训练数据{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，其中xi是特征向量，yi是标签（0或1），逻辑回归模型的目标是找到一组参数w和b，使得模型预测的概率p(y=1|x)尽可能接近真实的标签y。

为了实现这一目标，我们使用最大似然估计（MLE）方法。MLE方法的目的是找到一组参数，使得模型的似然函数最大。逻辑回归模型的似然函数为：

L(w, b) = Π[p(yi|xi)]^yi * [1 - p(yi|xi)]^(1 - yi)

其中，p(yi|xi)是模型预测的概率。

#### 2.2.2 损失函数与优化算法

为了求解MLE问题，我们需要将似然函数转化为损失函数。损失函数是似然函数的负对数，即：

loss(w, b) = -log L(w, b)

常用的损失函数有对数损失函数和交叉熵损失函数。

对数损失函数：loss(w, b) = -[y * log(p) + (1 - y) * log(1 - p)]
交叉熵损失函数：loss(w, b) = -[y * log(p) + (1 - y) * log(q)]

其中，p是模型预测的概率，q是模型预测的概率的补集。

求解损失函数的最小值，可以得到模型的参数w和b。常用的优化算法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。

# 3.1 Scikit-Learn中的逻辑回归模型

Scikit-Learn是一个广泛使用的Python机器学习库，它提供了逻辑回归模型的实现。Scikit-Learn中的逻辑回归模型位于`sklearn.linear_model`模块中。

#### 3.1.1 模型参数详解

逻辑回归模型在Scikit-Learn中由`LogisticRegression`类表示。此类具有以下主要参数：

- `penalty`：指定正则化类型，可以是`'l1'`（L1正则化）或`'l2'`（L2正则化）。
- `C`：正则化强度参数。
- `max_iter`：最大迭代次数。
- `solver`：求解优化问题的算法，可以是`'liblinear'