【进阶】自然语言处理基础：主题模型（LDA）

# 1. 自然语言处理与主题模型概述

主题模型是自然语言处理（NLP）中一种强大的技术，用于发现文本数据中的潜在主题或模式。它基于概率生成模型，将文本表示为一组概率分布，这些分布对应于文本中存在的不同主题。

主题模型的应用范围很广，包括文本分类、聚类、信息检索和机器翻译。它可以帮助我们理解文本数据的结构，提取有意义的信息，并生成有价值的见解。

# 2. 主题模型理论基础

### 2.1 概率生成模型

主题模型是一种概率生成模型，它假设文档是由一系列潜在主题生成的。每个主题由一组单词组成，这些单词共同描述了一个特定的主题。文档中的每个单词都是从这些主题中随机生成的。

### 2.2 潜在狄利克雷分配（LDA）

潜在狄利克雷分配（LDA）是一种广泛使用的主题模型。它假设文档中的每个单词都是由以下过程生成的：

1. 从狄利克雷分布中抽取一个主题。
2. 从该主题的单词分布中抽取一个单词。

LDA模型的参数包括：

- **主题数量 (K)**：文档中主题的数量。
- **狄利克雷分布的超参数 (α)**：控制主题分布的平滑度。
- **单词分布的超参数 (β)**：控制单词分布的平滑度。

### 2.3 LDA的数学推导

LDA模型的数学推导基于贝叶斯推断。给定一组文档，LDA模型的目标是推断主题和单词分布。推断过程涉及以下步骤：

1. **初始化主题和单词分布**：随机初始化主题和单词分布。
2. **Gibbs 采样**：使用 Gibbs 采样算法迭代更新主题和单词分布。Gibbs 采样是一种马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法，它通过从条件分布中采样来生成主题和单词分布的后验分布。
3. **收敛检查**：检查主题和单词分布是否收敛。收敛的标准通常是后验分布的稳定性。

**代码块：**

import numpy as np
import scipy.stats as stats

def lda_gibbs_sampling(docs, K, alpha, beta, num_iterations):
    """
    使用 Gibbs 采样训练 LDA 模型。

    参数：
    docs: 文档列表。
    K: 主题数量。
    alpha: 狄利克雷分布的超参数。
    beta: 单词分布的超参数。
    num_iterations: Gibbs 采样迭代次数。

    返回：
    主题-单词分布矩阵。
    """

    # 初始化主题和单词分布
    phi = np.random.dirichlet([beta] * K, size=len(docs))
    theta = np.random.dirichlet([alpha] * K, size=len(docs))

    # Gibbs 采样
    for _ in range(num_iterations):
        for d in range(len(docs)):
            for w in range(len(docs[d])):
                # 从条件分布中采样主题
                p = np.zeros(K)
                for k in range(K):
                    p[k] = phi[k, docs[d][w]] * theta[d, k]
                k = np.random.choice(K, p=p)

                # 更新主题和单词分布
                phi[k, docs[d]