【基础】策略迭代（Policy Iteration）算法详解

# 2.1 马尔可夫决策过程（MDP）

马尔可夫决策过程（MDP）是一个数学框架，用于建模具有以下特征的决策问题：

* **状态空间 (S)**：系统可以处于的一组离散状态。
* **动作空间 (A)**：在每个状态下可以采取的一组离散动作。
* **转移概率 (P)**：给定当前状态和动作，转移到下一状态的概率分布。
* **奖励函数 (R)**：执行动作后获得的立即奖励。

在 MDP 中，目标是找到一个策略，即在每个状态下选择动作的规则，以最大化从初始状态开始的长期累积奖励。

# 2. 策略迭代算法的理论基础

### 2.1 马尔可夫决策过程（MDP）

马尔可夫决策过程（MDP）是一种数学框架，用于对具有以下特征的顺序决策问题进行建模：

- **状态空间（S）：**系统可能处于的所有可能状态的集合。
- **动作空间（A）：**在每个状态下可以采取的所有可能动作的集合。
- **转移概率（P）：**从状态 s 执行动作 a 转移到状态 s' 的概率。
- **奖励函数（R）：**在状态 s 执行动作 a 获得的立即奖励。

### 2.2 贝尔曼方程和最优策略

贝尔曼方程是 MDP 中最基本和最重要的方程，它定义了最优价值函数 V*(s)，该函数表示从状态 s 开始并遵循最优策略所能获得的预期总奖励：

V*(s) = max_a [R(s, a) + γ Σ_{s' ∈ S} P(s' | s, a) V*(s')]

其中：

- γ 是折扣因子，用于对未来奖励进行加权。
- Σ 表示对所有可能的状态 s' 求和。

最优策略 π*(s) 是在每个状态 s 下选择动作 a 的规则，使 V*(s) 最大化。

### 2.3 策略迭代算法的原理

策略迭代算法是一种迭代算法，用于求解 MDP 的最优策略。该算法从一个初始策略开始，然后交替执行以下两个步骤：

1. **策略评估：**对于给定的策略 π，计算每个状态 s 的价值函数 Vπ(s)。
2. **策略改进：**对于每个状态 s，找到一个动作 a，使 Vπ(s) + R(s, a) + γ Σ_{s' ∈ S} P(s' | s, a) Vπ(s') 最大化。将 a 作为 π 中状态 s 的新动作。

该算法重复执行这两个步骤，直到策略不再发生变化，此时算法收敛于最优策略 π*。

# 3.1 策略迭代算法的伪代码

策略迭代算法的伪代码如下：

初始化策略 π0
重复直到策略收敛：
    对每个状态 s：
        计算状态 s 在策略 π 下的价值函数 Vπ(s)
    找到一个新的策略 π'，使得对每个状态 s：
        Qπ'(s, a) = max_a Qπ(s, a)
    将 π 更新为 π'

### 3.2 策略迭代算法的Python实现

策略迭代算法的Python实现如下：

import numpy as np

def policy_iteration(env, gamma=0.9):
    """
    策略迭代算法

    参数：
        env: 环境
        gamma: 折扣因子

    返回：
        最优策略
    """

    # 初始化策略
    pi = np.zeros(env.nS, dtype=int)

    # 策略迭代
    while True:
        # 计算状态价值函数
        V = value_iteration(env, pi, gamma)

        # 找到一个新的策略
        pi_new = np.argmax(Q(env, V, gamma), axis=1)

        # 检查策略是否收敛
        if np.array_equal(pi, pi_new):
            break

        # 更新策略
        pi = pi_new

    return pi


def value_iteration(env, pi, gamma=0.9):
    """
    价值迭代算法

    参数：
        env: 环境
        pi: 策略