如何用C语言编程来计算并输出两个正整数m和n的最大公约数（GCD）以及最小公倍数（LCM），同时确保程序逻辑正确无误？

在C语言中，可以使用欧几里得算法（Euclidean algorithm）来计算两个正整数的最大公约数（GCD），然后利用公式 `LCM(a, b) = |a * b| / GCD(a, b)` 来求最小公倍数（LCM）。以下是实现这个功能的一个示例代码：

#include <stdio.h>

// 计算最大公约数 (欧几里得算法)
int gcd(int m, int n) {
    if (n == 0)
        return m;
    return gcd(n, m % n);
}

// 计算最小公倍数
int lcm(int m, int n) {
    return (m * n) / gcd(m, n);
}

int main() {
    int m, n;
    
    // 输入两个正整数
    printf("请输入两个正整数 m 和 n：");
    scanf("%d %d", &m, &n);

    // 检查输入是否有效（正整数）
    if (m <= 0 || n <= 0) {
        printf("错误：请输入正整数。\n");
        return 1;
    }

    // 计算并输出结果
    int gcd_result = gcd(m, n);
    int lcm_result = lcm(m, n);
    printf("最大公约数 (GCD): %d\n", gcd_result);
    printf("最小公倍数 (LCM): %d\n", lcm_result);

    return 0;
}

在这个程序中，`gcd()` 函数递归地计算两数的最大公约数，而 `lcm()` 函数则利用了 GCD 的性质来快速得到最小公倍数。在主函数中，用户被提示输入两个正整数，如果输入无效，则会给出相应的错误信息。