【基础】朴素贝叶斯分类器原理与应用

# 1. 朴素贝叶斯分类器概述**

朴素贝叶斯分类器是一种简单但有效的分类算法，广泛应用于文本分类、图像分类等领域。它基于贝叶斯定理，假设特征之间相互独立，从而简化了分类过程。朴素贝叶斯分类器具有计算效率高、泛化能力强等优点，使其成为机器学习中常用的分类算法之一。

# 2. 朴素贝叶斯分类器的理论基础

朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理和条件概率的分类算法。它假设特征之间相互独立，并且利用条件概率来计算给定特征集合下样本属于不同类别的概率。

### 2.1 贝叶斯定理和条件概率

贝叶斯定理描述了在已知事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率。它可以表示为：

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

其中：

* P(A|B) 是在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率（后验概率）
* P(B|A) 是在事件 A 发生的情况下，事件 B 发生的概率（似然度）
* P(A) 是事件 A 发生的概率（先验概率）
* P(B) 是事件 B 发生的概率（边缘概率）

条件概率描述了在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。它可以表示为：

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

其中：

* P(A|B) 是在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率
* P(A ∩ B) 是事件 A 和事件 B 同时发生的概率
* P(B) 是事件 B 发生的概率

### 2.2 朴素贝叶斯假设

朴素贝叶斯分类器假设特征之间相互独立。这意味着给定类别，一个特征的值不会影响其他特征的值。这种假设虽然在现实世界中并不总是成立，但它大大简化了分类过程。

### 2.3 朴素贝叶斯分类器的数学原理

给定一个特征向量 X = (x1, x2, ..., xn) 和一个类别集合 C = {c1, c2, ..., ck}，朴素贝叶斯分类器通过计算每个类别下特征向量的后验概率来预测样本的类别。

后验概率计算公式如下：

P(c|X) = P(X|c) * P(c) / P(X)

其中：

* P(c|X) 是在特征向量 X 的情况下，样本属于类别 c 的后验概率
* P(X|c) 是在类别 c 的情况下，特征向量 X 发生的似然度
* P(c) 是类别 c 的先验概率
* P(X) 是特征向量 X 发生的边缘概率

由于边缘概率 P(X) 对所有类别都是相同的，因此可以忽略。因此，分类器可以通过比较后验概率 P(c|X) 来预测样本的类别。

**代码块：**

import numpy as np

def naive_bayes(X, y, new_x):
  """朴素贝叶斯分类器

  参数：
    X：训练数据特征矩阵
    y：训练数据标签
    new_x：待预测样本特征向量

  返回：
    new_x 的预测类别
  """

  # 计算先验概率
  class_priors = np.bincount(y) / len(y)

  # 计算似然度
  likelihoods = np.zeros((len(class_priors), len(new_x)))
  for i, c in enumerate(class_priors):
    likelihoods[i, :] = np.prod(np.array([P(x, c) for x in new_x]))

  # 计算后验概率
  posteriors = class_priors * likelihoods

  # 预测类别
  re