【进阶】强化学习中的策略梯度方法

# 1. 策略梯度方法概述

策略梯度方法是一种强化学习算法，它通过直接优化策略函数来学习最优行为。与价值函数方法不同，策略梯度方法不需要显式地估计价值函数，而是直接对策略函数进行梯度更新。这种方法在解决复杂决策问题时具有优势，尤其是在动作空间连续或动作数量庞大的情况下。

# 2. 策略梯度方法的理论基础

### 2.1 强化学习中的策略与价值

在强化学习中，**策略**是指智能体在给定状态下采取行动的概率分布。**价值**则衡量智能体在特定策略下采取行动的长期收益。

**状态值函数** V(s) 表示智能体在状态 s 下采取任何行动的预期总收益。**动作值函数** Q(s, a) 表示智能体在状态 s 下采取行动 a 的预期总收益。

### 2.2 策略梯度定理

策略梯度定理是策略梯度方法的核心理论基础。它指出，在给定策略 π 下，策略参数 θ 的梯度与状态值函数 V(s) 的梯度成正比。数学表达式为：

∇θ J(π) ∝ ∇θ V(s)

其中，J(π) 是策略 π 的目标函数。

### 2.3 策略梯度算法的推导

基于策略梯度定理，我们可以推导出策略梯度算法。其基本思想是：通过更新策略参数 θ 来最大化目标函数 J(π)。

**REINFORCE算法**是策略梯度算法中最简单的形式。其更新规则为：

θ ← θ + α ∇θ log π(a|s) Q(s, a)

其中，α 是学习率，Q(s, a) 是动作值函数。

**Actor-Critic算法**是策略梯度算法的另一种形式。它使用一个**演员网络**来更新策略参数，并使用一个**评论家网络**来估计动作值函数。

**演员网络**的更新规则为：

θ ← θ + α ∇θ log π(a|s) A(s, a)

其中，A(s, a) 是优势函数，表示动作 a 在状态 s 下比其他动作更好的程度。

**评论家网络**的更新规则为：

w ← w + β ∇w (Q(s, a) - V(s))^2

其中，w 是评论家网络的参数，β 是学习率。

# 3.1 REINFORCE算法

**3.1.1 算法原理**

REINFORCE（REward INcremental FOR Each state）算法是策略梯度方法中应用最广泛的算法之一，它直接对策略进行梯度更新，从而提升策略的性能。

REINFORCE算法的原理基于策略梯度定理，该定理指出，在马尔可夫决策过程（MDP）中，策略梯度与状态-动作价值函数的梯度成正比。因此，REINFORCE算法通过估计状态-动作价值函数的梯度，进而更新策略，使得策略朝着价值更高的方向演化。

**3.1.2 算法实现**

REINFORCE算法的实现过程如下：

1. **初始化策略参数 θ**：随机初始化策略参数 θ，用于表示策略 π(a|s)。
2. **采样轨迹**：在环境中执行策略 π(a|s)，收集一组轨迹 {(s_1, a_1, r_1), ..., (s_T, a_T, r_T)}。
3. **计算回报**：计算每个轨迹的回报 G_t = Σ_{i=t}^{T} γ^(i-t)r_i，其中 γ 为折扣因子。
4. **计算策略梯度**：对于每个轨迹中的状态-动作对 (s_t, a_t)，计算策略梯度：

∇_θ log π(a_t | s_t) * G_t

5. **更新策略参数**：根据策略梯度更新策略参数 θ：

θ = θ + α * ∇_θ log π(a_t | s_t) * G_t

其中 α 为学习率。

**代码块：**

import numpy as np

def reinforce(env, num_episodes, learning_rate):
    # 初始化策略参数
    theta = np.random.rand(env.action_space.n)

    for episode in range(num_episodes):
        # 采样轨迹
        states, actions, rewards = [], [], []
        state = env.reset()
        done = False
        while not done:
            action = np.argmax(np.dot(theta, state))
            next_state, reward, done, _ = env.step(action)
            states.append(state)
            actions.append(action)
            re